大阪大学 2013年 文系 第1問 解説

方針・初手

点から直線に下ろした垂線の長さを求めることが目標である。直線の法線ベクトル $\vec{n} = (a, b)$ を利用すると、垂線は法線ベクトルと平行になることを活かして計算を大幅に簡略化できる。

解法1

与えられた点を $\mathrm{P}(x_0, y_0)$、直線を $l: ax + by + c = 0$ とする。

点 $\mathrm{P}$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}(x_1, y_1)$ とおく。

求める距離 $d$ は線分 $\mathrm{PH}$ の長さであるから、

$$ d = |\vec{\mathrm{PH}}| $$

である。

直線 $l$ の法線ベクトルの1つは $\vec{n} = (a, b)$ である。

ベクトル $\vec{\mathrm{PH}}$ は直線 $l$ に垂直であるから、法線ベクトル $\vec{n}$ と平行である。

したがって、実数 $k$ を用いて

$$ \vec{\mathrm{PH}} = k \vec{n} $$

と表せる。成分で表すと、

$$ (x_1 - x_0, y_1 - y_0) = (ka, kb) $$

となり、$\mathrm{H}$ の座標は

$$ \begin{cases} x_1 = x_0 + ka \\ y_1 = y_0 + kb \end{cases} $$

と表される。

点 $\mathrm{H}(x_1, y_1)$ は直線 $l$ 上の点であるから、$ax_1 + by_1 + c = 0$ を満たす。これに上の式を代入して、

$$ a(x_0 + ka) + b(y_0 + kb) + c = 0 $$

展開して整理すると、

$$ k(a^2 + b^2) + ax_0 + by_0 + c = 0 $$

直線 $l$ が存在するための条件より $a=0$ かつ $b=0$ になることはないので、$a^2 + b^2 > 0$ である。よって $k$ について解くと、

$$ k = -\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} $$

となる。

求める距離 $d$ は $d = |\vec{\mathrm{PH}}| = |k \vec{n}|$ であるから、

$$ d = |k| |\vec{n}| = \left| -\frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} \right| \sqrt{a^2 + b^2} $$

絶対値の中を整理し、計算を進めると

$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

となり、示された。

解法2

直線を $l: ax + by + c = 0$、与えられた点を $\mathrm{A}(x_0, y_0)$ とする。

直線 $l$ 上に任意の点 $\mathrm{P}(x, y)$ をとる。

直線 $l$ の法線ベクトルの1つを $\vec{n} = (a, b)$ とする。

求める距離 $d$ は、点 $\mathrm{A}$ から直線 $l$ に下ろした垂線 $\mathrm{AH}$ の長さである。

ベクトル $\vec{\mathrm{PA}}$ と法線ベクトル $\vec{n}$ の内積 $\vec{\mathrm{PA}} \cdot \vec{n}$ を考える。

点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{A}$ の座標より $\vec{\mathrm{PA}} = (x_0 - x, y_0 - y)$ であるから、内積を成分で計算すると、

$$ \vec{\mathrm{PA}} \cdot \vec{n} = a(x_0 - x) + b(y_0 - y) = ax_0 + by_0 - (ax + by) $$

点 $\mathrm{P}(x, y)$ は直線 $l$ 上にあるため $ax + by + c = 0$、すなわち $-(ax + by) = c$ を満たす。よって、

$$ \vec{\mathrm{PA}} \cdot \vec{n} = ax_0 + by_0 + c $$

となる。

一方で、$\vec{\mathrm{PA}} = \vec{\mathrm{PH}} + \vec{\mathrm{HA}}$ と分解すると、内積は

$$ \vec{\mathrm{PA}} \cdot \vec{n} = (\vec{\mathrm{PH}} + \vec{\mathrm{HA}}) \cdot \vec{n} = \vec{\mathrm{PH}} \cdot \vec{n} + \vec{\mathrm{HA}} \cdot \vec{n} $$

と変形できる。$\vec{\mathrm{PH}}$ は直線 $l$ 上のベクトルであり、$\vec{n}$ は直線 $l$ に垂直なベクトルであるから、$\vec{\mathrm{PH}} \cdot \vec{n} = 0$ である。

したがって、

$$ \vec{\mathrm{PA}} \cdot \vec{n} = \vec{\mathrm{HA}} \cdot \vec{n} $$

ベクトル $\vec{\mathrm{HA}}$ は直線 $l$ に垂直なので法線ベクトル $\vec{n}$ と平行である。よって $\vec{\mathrm{HA}}$ と $\vec{n}$ のなす角は $0^\circ$ または $180^\circ$ であるから、

$$ |\vec{\mathrm{HA}} \cdot \vec{n}| = |\vec{\mathrm{HA}}| |\vec{n}| $$

が成り立つ。これより、

$$ |ax_0 + by_0 + c| = |\vec{\mathrm{PA}} \cdot \vec{n}| = |\vec{\mathrm{HA}} \cdot \vec{n}| = |\vec{\mathrm{HA}}| |\vec{n}| $$

求める距離 $d$ は $d = |\vec{\mathrm{HA}}|$ であり、$|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ であるから、

$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{|\vec{n}|} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

となり、示された。

解説

点と直線の距離の公式は、図形と方程式の分野において極めて重要な公式である。

証明方法としては、ここで挙げたような「法線ベクトルを活用する方法」が、連立方程式の計算量が少なく見通しが良いため推奨される。

解法2で用いたベクトルの正射影の概念を利用すると、座標や交点を直接求めることなく内積の計算のみで距離が求まる。これは、空間図形における「点と平面の距離の公式」の証明など、3次元への拡張においてもそのまま通用する強力な考え方である。

答え

上記のように、垂線の足の座標を法線ベクトルを用いて表し計算する方法（解法1）、またはベクトルの内積と正射影の性質を利用する方法（解法2）により、点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離が

$$ \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

となることが証明された。