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大阪大学 2020年文系第3問解説

方針・初手

角度の条件が与えられていることから、正弦定理を用いて辺の長さを角度の正弦（サイン）で表すのが自然なアプローチである。角度 $\angle ABC$ を文字で置き、三角形の成立条件（内角の和）からその角度の取り得る値の範囲を求めた上で、$c$ と $b$ の関係式を導く。

解法1

$\angle ABC = \theta$ とおくと、条件より $\angle ACB = 3\theta$ である。

三角形の内角の和は $\pi$ であり、各内角は正であるから、

$$ \theta > 0 \quad \text{かつ} \quad \theta + 3\theta < \pi $$

が成り立つ。これを解くと、

$$ 0 < \theta < \frac{\pi}{4} $$

となる。

$\triangle ABC$ において正弦定理を用いると、外接円の半径を $R$ として、

$$ \frac{b}{\sin\theta} = \frac{c}{\sin3\theta} = 2R $$

が成り立つ。これより、

$$ c = \frac{\sin3\theta}{\sin\theta} b $$

となる。

ここで、3倍角の公式 $\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ を用いると、

$$ c = \frac{3\sin\theta - 4\sin^3\theta}{\sin\theta} b = (3 - 4\sin^2\theta) b $$

と変形できる。

$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ であるから $\sin\theta > 0$ であり、したがって $\sin^2\theta > 0$ が成り立つ。

よって、

$$ 3 - 4\sin^2\theta < 3 $$

である。

$b$ は辺の長さであるから $b > 0$ であり、上の不等式の両辺に $b$ を掛けると、

$$ (3 - 4\sin^2\theta) b < 3b $$

すなわち、

$$ c < 3b $$

となり、題意は示された。

解法2

$\angle ABC = \theta$ とおくと、解法1と同様にして $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ であり、正弦定理より、

$$ c = \frac{\sin3\theta}{\sin\theta} b $$

が成り立つ。

ここで、加法定理を用いて $\sin3\theta$ を変形する。

$$ \sin3\theta = \sin(2\theta + \theta) = \sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta $$

これを用いると、

$$ \frac{\sin3\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin2\theta\cos\theta}{\sin\theta} + \cos2\theta $$

となる。2倍角の公式 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を適用して整理すると、

$$ \frac{\sin3\theta}{\sin\theta} = \frac{2\sin\theta\cos^2\theta}{\sin\theta} + \cos2\theta = 2\cos^2\theta + \cos2\theta $$

さらに、2倍角の公式から得られる $2\cos^2\theta = 1 + \cos2\theta$ を代入すると、

$$ \frac{\sin3\theta}{\sin\theta} = 1 + \cos2\theta + \cos2\theta = 1 + 2\cos2\theta $$

となる。したがって、

$$ c = (1 + 2\cos2\theta) b $$

である。

ここで、$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ より $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ であるから、

$$ 0 < \cos2\theta < 1 $$

が成り立つ。よって、

$$ 1 + 2\cos2\theta < 1 + 2 \cdot 1 = 3 $$

である。

$b > 0$ であるから、両辺に $b$ を掛けて、

$$ c = (1 + 2\cos2\theta) b < 3b $$

となり、題意は示された。

解説

正弦定理を用いて「辺の比」を「角の正弦の比」に変換するという、図形と計量の分野における典型的な処理が問われている。$\angle ABC$ を $\theta$ と置いた際に、図形が三角形として成立するための条件から $\theta$ の変域を正しく設定することが論理の要となる。また、$\sin3\theta$ の扱いについては、解法1のように3倍角の公式を直接用いるほか、解法2のように加法定理と2倍角の公式を組み合わせて角度を $2\theta$ に統一する変形も実戦的であり、どちらもスムーズに実行できるようにしておきたい。