大阪大学 1969年 理系 第1問 解説

方針・初手

点対称移動の条件を、位置ベクトルの関係式（漸化式）に翻訳して考えます。 ある点 $A$ に関して点 $X$ と点 $Y$ が対称であるという条件は、線分 $XY$ の中点が $A$ であることと同値です。この性質を用いて、点 $P_k$ の位置ベクトルを順番に表していき、移動の規則性を見出します。

解法1

平面上に任意の基準点 $O$ をとり、各点 $P, P_k, A_k$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p}, \vec{p}_k, \vec{a}_k$ とする。ただし、$P_0 = P$（すなわち $\vec{p}_0 = \vec{p}$）とする。

点 $P_k$ は、点 $A_k$ に関して点 $P_{k-1}$ と対称な点であるから、線分 $P_{k-1}P_k$ の中点が $A_k$ となる。 したがって、 $$ \frac{\vec{p}_{k-1} + \vec{p}_k}{2} = \vec{a}_k $$ すなわち $$ \vec{p}_k = 2\vec{a}_k - \vec{p}_{k-1} \quad (k=1, 2, \cdots, n) $$ が成り立つ。

(1)

漸化式を繰り返し用いると、 $$ \begin{aligned} \vec{p}_1 &= 2\vec{a}_1 - \vec{p} \\ \vec{p}_2 &= 2\vec{a}_2 - \vec{p}_1 = 2\vec{a}_2 - 2\vec{a}_1 + \vec{p} \\ \vec{p}_3 &= 2\vec{a}_3 - \vec{p}_2 = 2\vec{a}_3 - 2\vec{a}_2 + 2\vec{a}_1 - \vec{p} \\ \vec{p}_4 &= 2\vec{a}_4 - \vec{p}_3 = 2\vec{a}_4 - 2\vec{a}_3 + 2\vec{a}_2 - 2\vec{a}_1 + \vec{p} \end{aligned} $$ となる。一般に、偶数 $k$ に対しては $$ \vec{p}_k = \vec{p} + 2(\vec{a}_k - \vec{a}_{k-1} + \cdots + \vec{a}_2 - \vec{a}_1) $$ となることが予想され、実際に $$ \begin{aligned} \vec{p}_{k+2} &= 2\vec{a}_{k+2} - \vec{p}_{k+1} \\ &= 2\vec{a}_{k+2} - (2\vec{a}_{k+1} - \vec{p}_k) \\ &= \vec{p}_k + 2(\vec{a}_{k+2} - \vec{a}_{k+1}) \end{aligned} $$ が成り立つことから、帰納的に示される。

$n$ が偶数のとき、 $$ \vec{p}_n = \vec{p} + 2(\vec{a}_n - \vec{a}_{n-1} + \vec{a}_{n-2} - \vec{a}_{n-3} + \cdots + \vec{a}_2 - \vec{a}_1) $$ ここで、$\vec{a}_{2j} - \vec{a}_{2j-1} = \overrightarrow{A_{2j-1}A_{2j}}$ であるから、 $$ \vec{p}_n = \vec{p} + 2(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_3A_4} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n}) $$ と表せる。したがって、 $$ \overrightarrow{PP_n} = \vec{p}_n - \vec{p} = 2(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_3A_4} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n}) $$ となる。

右辺は定ベクトルであるから、点 $P$ を $P_n$ にうつす移動は平行移動である。 また、その移動ベクトルが点 $P$ の位置によらず、定点 $A_1, \cdots, A_n$ だけで決まる定ベクトル $2(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_3A_4} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n})$ で表されるため、この移動は与えられたベクトルだけで決まる。

(2)

(1) と同様に考えると、一般に奇数 $k$ に対しては $$ \vec{p}_k = -\vec{p} + 2(\vec{a}_k - \vec{a}_{k-1} + \cdots - \vec{a}_2 + \vec{a}_1) $$ となる。$n$ が奇数のとき、 $$ \vec{p}_n = -\vec{p} + 2(\vec{a}_n - \vec{a}_{n-1} + \vec{a}_{n-2} - \cdots - \vec{a}_2 + \vec{a}_1) $$ これを変形すると、 $$ \frac{\vec{p}_n + \vec{p}}{2} = \vec{a}_n - \vec{a}_{n-1} + \vec{a}_{n-2} - \cdots - \vec{a}_2 + \vec{a}_1 $$ となる。

左辺は、線分 $PP_n$ の中点の位置ベクトルを表している。 右辺は、定点 $A_1, \cdots, A_n$ の位置ベクトルのみで構成される定ベクトルであり、点 $P$ の位置によらない一定の点を表す。 線分 $PP_n$ の中点が点 $P$ の位置によらず常に一定の点となるため、点 $P$ を $P_n$ にうつす移動は、この定点を中心とする点対称移動である。（証明終）

また、その対称の中心は、位置ベクトルが $$ \vec{a}_n - \vec{a}_{n-1} + \vec{a}_{n-2} - \cdots - \vec{a}_2 + \vec{a}_1 $$ で表される点である。これを変形すると、 $$ \vec{a}_1 + (\vec{a}_3 - \vec{a}_2) + \cdots + (\vec{a}_n - \vec{a}_{n-1}) $$ となるから、点 $A_1$ を始点として、ベクトル $\overrightarrow{A_2A_3} + \overrightarrow{A_4A_5} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n}$ だけ平行移動した点に等しい。

解説

図形的な変換を位置ベクトルを用いて数式化する解法が確実です。 点対称移動を連続して行うと、2回の移動では元の向きに戻り単なる「平行移動」となり、3回などの奇数回の移動では再び「点対称移動」になるという幾何学的な性質が、$\vec{p}$ の係数が $+1$ か $-1$ かという形で数式に明確に現れます。

答え

(1) 点 $P$ を $P_n$ にうつす移動は平行移動である。 理由：移動を表すベクトル $\overrightarrow{PP_n}$ が $2(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_3A_4} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n})$ となり、点 $P$ の位置によらずこれらのベクトルのみで定まる定ベクトルとなるため。

(2) 移動が点対称であることの証明は解法1を参照。 対称の中心は、位置ベクトルが $\vec{a}_n - \vec{a}_{n-1} + \vec{a}_{n-2} - \cdots - \vec{a}_2 + \vec{a}_1$ となる点。 （または、点 $A_1$ を始点としてベクトル $\overrightarrow{A_2A_3} + \overrightarrow{A_4A_5} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n}$ だけ平行移動した点）