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大阪大学 1970年理系第1問解説

方針・初手

与えられた定積分を計算し、$a$ の関数として表したうえで最小値を求めます。定積分の計算においては、そのまま積分を実行してから「解と係数の関係」を用いて式を整理するアプローチと、被積分関数を2次方程式の左辺の式で割った余りの形に変形し、定積分の公式（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式）を活用するアプローチが考えられます。

いずれの場合も、分母に $\beta - \alpha$ があるため、2次方程式が異なる2つの実数解を持つことを確認しておく必要があります。

解法1

2次方程式 $x^2 + 2ax - (a+1) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = a^2 - 1 \cdot \{-(a+1)\} = a^2 + a + 1 = \left( a + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} $$

すべての実数 $a$ に対して $\frac{D}{4} > 0$ であるから、この2次方程式は常に異なる2つの実数解を持つ。したがって $\alpha \neq \beta$ であり、与えられた式は常に定義される。

解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = -2a, \quad \alpha\beta = -(a+1) $$

である。求める値を $I$ とおき、定積分を計算する。

$$ I = \frac{1}{\beta - \alpha} \int_{\alpha}^{\beta} (x^2 + x + a) dx $$

$$ I = \frac{1}{\beta - \alpha} \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_{\alpha}^{\beta} $$

$$ I = \frac{1}{\beta - \alpha} \left\{ \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) + \frac{1}{2}(\beta^2 - \alpha^2) + a(\beta - \alpha) \right\} $$

$\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2)$ などの因数分解を用いて $\beta - \alpha$ で約分すると、

$$ I = \frac{1}{3}(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{1}{2}(\beta + \alpha) + a $$

$$ I = \frac{1}{3} \{ (\alpha+\beta)^2 - \alpha\beta \} + \frac{1}{2}(\alpha + \beta) + a $$

ここに解と係数の関係を代入して、$a$ の式で表す。

$$ I = \frac{1}{3} \{ (-2a)^2 - (-(a+1)) \} + \frac{1}{2}(-2a) + a $$

$$ I = \frac{1}{3} (4a^2 + a + 1) - a + a = \frac{4}{3}a^2 + \frac{1}{3}a + \frac{1}{3} $$

得られた $a$ の2次関数の最小値を求めるために平方完成を行う。

$$ I = \frac{4}{3} \left( a^2 + \frac{1}{4}a \right) + \frac{1}{3} $$

$$ I = \frac{4}{3} \left( a + \frac{1}{8} \right)^2 - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{64} + \frac{1}{3} $$

$$ I = \frac{4}{3} \left( a + \frac{1}{8} \right)^2 - \frac{1}{48} + \frac{16}{48} = \frac{4}{3} \left( a + \frac{1}{8} \right)^2 + \frac{5}{16} $$

したがって、$I$ を最小にする $a$ の値は $a = -\frac{1}{8}$ である。

解法2

定積分の被積分関数 $x^2 + x + a$ を、方程式の左辺 $x^2 + 2ax - (a+1)$ を用いて恒等的に変形する。

$$ x^2 + x + a = \{ x^2 + 2ax - (a+1) \} + (1-2a)x + 2a + 1 $$

$\alpha, \beta$ は方程式 $x^2 + 2ax - (a+1) = 0$ の解であるから、因数定理より $x^2 + 2ax - (a+1) = (x-\alpha)(x-\beta)$ と表せる。これを被積分関数に代入する。

$$ I = \frac{1}{\beta - \alpha} \int_{\alpha}^{\beta} \{ (x-\alpha)(x-\beta) + (1-2a)x + 2a + 1 \} dx $$

積分を2つの項に分けて計算する。前半の項にはいわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を利用する。

$$ \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 $$

後半の項を計算する。

$$ \int_{\alpha}^{\beta} \{ (1-2a)x + 2a + 1 \} dx = \left[ \frac{1-2a}{2}x^2 + (2a+1)x \right]_{\alpha}^{\beta} $$

$$ = \frac{1-2a}{2}(\beta^2 - \alpha^2) + (2a+1)(\beta - \alpha) $$

$$ = (\beta - \alpha) \left\{ \frac{1-2a}{2}(\alpha + \beta) + 2a + 1 \right\} $$

これらを $I$ の式に戻し、全体を $\beta - \alpha$ で割る。

$$ I = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^2 + \frac{1-2a}{2}(\alpha + \beta) + 2a + 1 $$

ここで、解と係数の関係 $\alpha + \beta = -2a, \alpha\beta = -(a+1)$ より、

$$ (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (-2a)^2 - 4\{-(a+1)\} = 4a^2 + 4a + 4 $$

であるから、各項を $a$ で表して整理する。

$$ I = -\frac{1}{6}(4a^2 + 4a + 4) + \frac{1-2a}{2}(-2a) + 2a + 1 $$

$$ I = -\frac{2}{3}a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{2}{3} - a(1-2a) + 2a + 1 $$

$$ I = -\frac{2}{3}a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{2}{3} + 2a^2 + a + 1 = \frac{4}{3}a^2 + \frac{1}{3}a + \frac{1}{3} $$

これ以降は解法1と同様に平方完成を行い、$a = -\frac{1}{8}$ を得る。

解説

一見すると、「$x^2 + 2ax - (a+1) = 0$ だから $x^2 = -2ax + a + 1$ として被積分関数の次数を下げればよい」と考えてしまいがちですが、これは誤りです。方程式を満たすのはあくまで定数である $\alpha, \beta$ のみであり、積分変数である $x$ は $\alpha$ から $\beta$ まで連続的に変化するため、$x^2 + 2ax - (a+1) = 0$ を代入することはできません。

解法2のように、被積分関数を $(x-\alpha)(x-\beta)$ をくくり出した恒等式に変形してから積分を行うのが、数学的に正しい「次数下げ」のアプローチです。この方法は計算量を減らすうえで非常に有効なテクニックとなります。