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東京工業大学 1990年理系第4問解説

方針・初手

定積分で定義された関数を $x$ で微分して増減を調べるという定石に従う。微積分学の基本定理を用いることで、積分を計算することなく導関数を求めることができる。最小値をとる $x$ を特定した後に、定積分の計算を行う。

解法1

与えられた関数は次のように表される。

$$ f(x) = \int_0^x \frac{d\theta}{\cos\theta} + \int_x^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sin\theta} $$

両辺を $x$ について微分する。第2項については積分区間の上下を反転させると $\int_x^{\frac{\pi}{2}} = - \int_{\frac{\pi}{2}}^x$ となることに注意する。

$$ f'(x) = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} $$

定義域 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、$\sin x > 0$ かつ $\cos x > 0$ であるため、分母 $\sin x \cos x > 0$ である。したがって、$f'(x)$ の符号は分子 $\sin x - \cos x$ の符号と一致する。

$f'(x) = 0$ とすると $\sin x = \cos x$ となり、両辺を $\cos x \neq 0$ で割って $\tan x = 1$ を得る。 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{4}$ である。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin x < \cos x$ より $f'(x) < 0$ である。 $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x > \cos x$ より $f'(x) > 0$ である。

したがって、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で極小かつ最小となる。このときの最小値 $f(\frac{\pi}{4})$ を計算する。

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d\theta}{\cos\theta} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sin\theta} $$

第2項の積分について、$\theta = \frac{\pi}{2} - t$ と置換する。 $d\theta = -dt$ であり、積分区間の対応は $\theta : \frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t : \frac{\pi}{4} \to 0$ となる。

$$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sin\theta} = \int_{\frac{\pi}{4}}^0 \frac{-dt}{\sin(\frac{\pi}{2} - t)} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{\cos t} $$

したがって、第1項と第2項は値が等しくなり、次のようにまとまる。

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d\theta}{\cos\theta} $$

この定積分を計算するため、被積分関数の分母分子に $\cos\theta$ を掛ける。

$$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{\cos^2\theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{1 - \sin^2\theta} d\theta $$

ここで、$u = \sin\theta$ と置換する。 $du = \cos\theta d\theta$ であり、積分区間の対応は $\theta : 0 \to \frac{\pi}{4}$ のとき $u : 0 \to \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\theta}{1 - \sin^2\theta} d\theta &= \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{du}{1 - u^2} \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{1}{1 + u} + \frac{1}{1 - u} \right) du \\ &= \frac{1}{2} \left[ \log(1 + u) - \log(1 - u) \right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{1}{2} \left[ \log \frac{1 + u}{1 - u} \right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{1}{2} \log \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \\ &= \frac{1}{2} \log \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \\ &= \frac{1}{2} \log (\sqrt{2} + 1)^2 \\ &= \log (\sqrt{2} + 1) \end{aligned} $$

以上より、求める最小値は次のようになる。

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \log (\sqrt{2} + 1) $$

解説

定積分で表された関数の微分の基本公式 $\frac{d}{dx} \int_a^x g(t)dt = g(x)$ を用いる標準的な問題である。積分区間の上端に $x$ が含まれない場合は、積分の性質を用いて $\int_x^b = -\int_b^x$ と変形してから微分する。また、$\int \frac{1}{\cos x} dx$ の計算は頻出であり、分母分子に $\cos x$ を掛けて $\sin x = u$ と置換し、部分分数分解に持ち込む手法は確実に習得しておきたい。