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大阪大学 1980年理系第5問解説

方針・初手

曲線上の点における接線の方程式を立て、交点 $Q$ の条件から微分方程式を導いて関数 $f(x)$ の形を決定する。その後、定点と曲線上の点の距離の最小値に関する条件を用いて、関数に含まれる未定定数を決定する。

解法1

曲線 $C: y = f(x)$ ($x > 0$) 上の任意の点 $P(t, f(t))$ ($t > 0$) における接線の方程式を考える。接線の傾きが $0$、すなわち $f'(t) = 0$ と仮定すると、接線は $y = f(t)$ となり、$x$ 軸との交点 $Q$ がただ1つに定まらない。したがって $f'(t) \neq 0$ である。接線の方程式は、

$$ y - f(t) = f'(t)(x - t) $$

この接線と $x$ 軸 ($y = 0$) との交点 $Q$ の $x$ 座標は、

$$ -f(t) = f'(t)(x - t) $$

$$ x = t - \frac{f(t)}{f'(t)} $$

よって、$Q \left( t - \frac{f(t)}{f'(t)}, 0 \right)$ となる。線分 $PQ$ が $y$ 軸によって2等分されるため、点 $P$ と点 $Q$ の $x$ 座標の和は $0$ となる。

$$ t + t - \frac{f(t)}{f'(t)} = 0 $$

$$ 2t = \frac{f(t)}{f'(t)} $$

変数 $t$ を $x$ に置き換えると、次の微分方程式を得る。

$$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2x} $$

両辺を $x$ について積分する。

$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2x} dx $$

$$ \log |f(x)| = \frac{1}{2} \log x + C_1 \quad (C_1 \text{ は積分定数}) $$

$$ |f(x)| = e^{C_1} \sqrt{x} $$

$$ f(x) = \pm e^{C_1} \sqrt{x} $$

ここで、$k = \pm e^{C_1}$ とおくと $k \neq 0$ であり、$f(x) = k\sqrt{x}$ と表される。

次に、点 $(0, 3)$ と曲線 $C$ 上の点 $(x, k\sqrt{x})$ との距離の2乗を $D(x)$ とおく。

$$ D(x) = x^2 + (k\sqrt{x} - 3)^2 = x^2 + k^2 x - 6k\sqrt{x} + 9 \quad (x > 0) $$

$u = \sqrt{x}$ ($u > 0$) とおき、$D(x)$ を $u$ の関数 $g(u)$ として表す。

$$ g(u) = u^4 + k^2 u^2 - 6ku + 9 $$

距離の最小値が $\sqrt{2}$ であることは、$g(u)$ の最小値が $2$ であることと同値である。 $g(u)$ を微分して増減を調べる。

$$ g'(u) = 4u^3 + 2k^2 u - 6k = 2(2u^3 + k^2 u - 3k) $$

$k \le 0$ のとき、$u > 0$ において $g'(u) > 0$ となるため、$g(u)$ は単調増加となり、最小値をもたない（定義域が $u > 0$ の開区間であるため）。したがって $k > 0$ である。 $h(u) = 2u^3 + k^2 u - 3k$ とおくと、$h'(u) = 6u^2 + k^2 > 0$ より $h(u)$ は単調増加である。また、$h(0) = -3k < 0$ かつ $\lim_{u \to \infty} h(u) = \infty$ であるから、$h(u) = 0$ となる正の実数解 $u = \alpha$ がただ1つ存在する。 $g(u)$ は $0 < u < \alpha$ で減少し、$u > \alpha$ で増加するため、$u = \alpha$ で最小値をとる。最小値が $2$ であることから、次の2式が成り立つ。

$$ 2\alpha^3 + k^2 \alpha - 3k = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$$ \alpha^4 + k^2 \alpha^2 - 6k\alpha + 9 = 2 \quad \cdots \text{②} $$

①より $3k = 2\alpha^3 + k^2 \alpha$ を②に代入する。

$$ \alpha^4 + k^2 \alpha^2 - 2\alpha (2\alpha^3 + k^2 \alpha) + 7 = 0 $$

$$ -3\alpha^4 - k^2 \alpha^2 + 7 = 0 $$

$$ k^2 \alpha^2 = 7 - 3\alpha^4 \quad \cdots \text{③} $$

また、①に $\alpha$ を掛けた $2\alpha^4 + k^2 \alpha^2 - 3k\alpha = 0$ に③を代入する。

$$ 2\alpha^4 + (7 - 3\alpha^4) - 3k\alpha = 0 $$

$$ 3k\alpha = 7 - \alpha^4 \quad \cdots \text{④} $$

③の両辺に $9$ を掛け、④の両辺を2乗したものを代入して $k$ を消去する。

$$ 9(7 - 3\alpha^4) = (7 - \alpha^4)^2 $$

$$ 63 - 27\alpha^4 = 49 - 14\alpha^4 + \alpha^8 $$

$$ \alpha^8 + 13\alpha^4 - 14 = 0 $$

$$ (\alpha^4 - 1)(\alpha^4 + 14) = 0 $$

$\alpha$ は実数であるから $\alpha^4 = 1$ となり、$\alpha > 0$ より $\alpha = 1$ を得る。これを③に代入すると、

$$ k^2 \cdot 1^2 = 7 - 3 \cdot 1^4 $$

$$ k^2 = 4 $$

$k > 0$ より $k = 2$ である。（このとき④は $3 \cdot 2 \cdot 1 = 7 - 1$ となり成立する。）したがって、求める関数は $f(x) = 2\sqrt{x}$ である。

解法2

線分 $PQ$ が $y$ 軸で2等分される条件から微分方程式を導き、$f(x) = k\sqrt{x}$ ($k \neq 0$) を得るまでの手順は解法1と同じである。

曲線 $y = k\sqrt{x}$ と定点 $A(0, 3)$ との距離が最小となる点は、その点における法線が点 $A$ を通る点である。曲線上の点 $R(t, k\sqrt{t})$ ($t > 0$) における接線の傾きは $y' = \frac{k}{2\sqrt{x}}$ より $\frac{k}{2\sqrt{t}}$ であるから、法線の傾きは $-\frac{2\sqrt{t}}{k}$ となる。点 $R$ における法線の方程式は、

$$ y - k\sqrt{t} = -\frac{2\sqrt{t}}{k}(x - t) $$

これが点 $A(0, 3)$ を通るため、

$$ 3 - k\sqrt{t} = -\frac{2\sqrt{t}}{k}(0 - t) $$

$$ 3 - k\sqrt{t} = \frac{2t\sqrt{t}}{k} $$

$$ 3k - k^2 \sqrt{t} = 2t\sqrt{t} $$

$$ 2t\sqrt{t} + k^2 \sqrt{t} - 3k = 0 $$

ここで $\sqrt{t} = u$ ($u > 0$) とおくと、

$$ 2u^3 + k^2 u - 3k = 0 \quad \cdots \text{⑤} $$

このとき、点 $A$ と点 $R$ の距離が $\sqrt{2}$ となるため、

$$ (t - 0)^2 + (k\sqrt{t} - 3)^2 = (\sqrt{2})^2 $$

$$ t^2 + k^2 t - 6k\sqrt{t} + 7 = 0 $$

同様に $\sqrt{t} = u$ を代入すると、

$$ u^4 + k^2 u^2 - 6ku + 7 = 0 \quad \cdots \text{⑥} $$

⑤より $3k = 2u^3 + k^2 u$ を⑥に代入する。

$$ u^4 + k^2 u^2 - 2u(2u^3 + k^2 u) + 7 = 0 $$

$$ -3u^4 - k^2 u^2 + 7 = 0 $$

$$ k^2 u^2 = 7 - 3u^4 \quad \cdots \text{⑦} $$

⑤に $u$ を掛けて⑦を代入すると、

$$ 2u^4 + k^2 u^2 - 3ku = 0 $$

$$ 2u^4 + (7 - 3u^4) - 3ku = 0 $$

$$ 3ku = 7 - u^4 $$

両辺を2乗して⑦を用いると、

$$ 9k^2 u^2 = (7 - u^4)^2 $$

$$ 9(7 - 3u^4) = 49 - 14u^4 + u^8 $$

$$ u^8 + 13u^4 - 14 = 0 $$

$$ (u^4 - 1)(u^4 + 14) = 0 $$

$u > 0$ より $u = 1$ を得る。これを⑦に代入すると $k^2 = 4$ となり、$u=1$ と⑤から $k>0$ が要請されるため、$k = 2$ と求まる。よって、$f(x) = 2\sqrt{x}$ である。

解説

前半は接線の方程式から微分方程式を導出して関数形を決定する基本的な問題である。積分定数の扱いに注意し、$f(x) = k\sqrt{x}$ のように定数を含んだ形で表す。後半は点と曲線の距離の最小化に関する問題であり、2つの代表的なアプローチがある。 1つは距離の2乗を1変数関数として表し、微分を用いて最小値を求める方法（解法1）。もう1つは「最短距離を与える点における法線は、定点を通る」という図形的な性質を利用する方法（解法2）である。どちらの手法を用いても最終的に同じ連立方程式に帰着するが、法線を用いる方が微分の手間が省け、立式が簡潔になることが多い。