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大阪大学 1984年理系第3問解説

方針・初手

正 $n$ 角形とその回転図形の交点を扱う問題である。幾何的に図をかいて合同な三角形を見つけることも可能であるが、図の位置関係（交点が線分の中点の左右どちらにあるか等）による場合分けや曖昧さを避けるため、複素数平面やベクトル（極座標）を用いて機械的に処理するのが有効である。

原点を $O$ とし、各辺を含む直線の法線ベクトルの偏角に注目することで、交点 $C$ の偏角や原点からの距離を簡潔に導出できる。

解法1

(1)

座標平面において点 $O$ を原点とし、$A_1$ の極座標を $(1, 0)$ となるように実軸（偏角 $0$ の方向）をとる。 $D$ は半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形であるため、頂点 $A_k$ の偏角は $\frac{2(k-1)\pi}{n}$ である。直線 $A_1A_2$ は、原点からの距離が $\cos\frac{\pi}{n}$ であり、原点から下ろした垂線の足（線分 $A_1A_2$ の中点 $H$）の偏角が $\frac{\pi}{n}$ となる直線である。したがって、偏角 $\frac{\pi}{n}$ の単位ベクトルを $\vec{n_1} = \left(\cos\frac{\pi}{n}, \sin\frac{\pi}{n}\right)$ とすると、直線 $A_1A_2$ 上の点 $P$ は以下のベクトル方程式を満たす。

$$ \vec{OP} \cdot \vec{n_1} = \cos\frac{\pi}{n} $$

一方、図形 $D_{2\theta}$ は $D$ を原点のまわりに $2\theta$ 回転したものである。直線 $B_nB_1$ は、直線 $A_nA_1$ を $2\theta$ 回転した直線である。 $A_n$ の偏角は $-\frac{2\pi}{n}$、$A_1$ の偏角は $0$ より、直線 $A_nA_1$ の法線方向（原点からの垂線の向き）の偏角は $-\frac{\pi}{n}$ である。これを $2\theta$ 回転させた直線 $B_nB_1$ の法線方向の偏角は $2\theta - \frac{\pi}{n}$ となる。この向きの単位ベクトルを $\vec{n_2} = \left(\cos\left(2\theta - \frac{\pi}{n}\right), \sin\left(2\theta - \frac{\pi}{n}\right)\right)$ とすると、直線 $B_nB_1$ は原点からの距離が $\cos\frac{\pi}{n}$ であるから、その上の点 $P$ は以下を満たす。

$$ \vec{OP} \cdot \vec{n_2} = \cos\frac{\pi}{n} $$

交点 $C$ はこれら2つの直線の交点であるため、$\vec{OC} \cdot \vec{n_1} = \cos\frac{\pi}{n}$ かつ $\vec{OC} \cdot \vec{n_2} = \cos\frac{\pi}{n}$ が成り立つ。辺々を引くと $\vec{OC} \cdot (\vec{n_1} - \vec{n_2}) = 0$ となり、ベクトル $\vec{OC}$ はベクトル $\vec{n_1} + \vec{n_2}$ と平行である。

$$ \vec{n_1} + \vec{n_2} = \left(\cos\frac{\pi}{n} + \cos\left(2\theta - \frac{\pi}{n}\right), \sin\frac{\pi}{n} + \sin\left(2\theta - \frac{\pi}{n}\right)\right) $$

三角関数の和と積の公式より、

$$ \begin{aligned} \cos\frac{\pi}{n} + \cos\left(2\theta - \frac{\pi}{n}\right) &= 2\cos\theta \cos\left(\theta - \frac{\pi}{n}\right) \\ \sin\frac{\pi}{n} + \sin\left(2\theta - \frac{\pi}{n}\right) &= 2\sin\theta \cos\left(\theta - \frac{\pi}{n}\right) \end{aligned} $$

ここで、$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{n}$ より $-\frac{\pi}{n} \leqq \theta - \frac{\pi}{n} < 0$ であり、$n \geqq 3$ において $\cos\left(\theta - \frac{\pi}{n}\right) > 0$ である。したがって、ベクトル $\vec{n_1} + \vec{n_2}$ の偏角は $\theta$ となり、$\vec{OC}$ の偏角も $\theta$ である。 $A_1$ の偏角は $0$ であるから、$\angle A_1OC = \theta$ が証明された。

さらに $\vec{OC}$ の長さを $r$ とおくと、$\vec{OC} = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ と表せる。これを $\vec{OC} \cdot \vec{n_1} = \cos\frac{\pi}{n}$ に代入すると、

$$ r\left(\cos\theta\cos\frac{\pi}{n} + \sin\theta\sin\frac{\pi}{n}\right) = \cos\frac{\pi}{n} $$

加法定理より $r\cos\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right) = \cos\frac{\pi}{n}$ となるため、

$$ OC = r = \frac{\cos\frac{\pi}{n}}{\cos\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right)} $$

(2)

$D$ と $D_{2\theta}$ が重なる部分の領域を $E$ とする。（1）と同様に、辺 $A_1A_2$ と辺 $B_1B_2$ の交点を $C'$ とすると、直線 $B_1B_2$ は直線 $A_1A_2$ を $2\theta$ 回転したものであるから、その法線ベクトルの偏角は $\frac{\pi}{n} + 2\theta$ である。したがって、直線 $A_1A_2$ と直線 $B_1B_2$ の交点 $C'$ の位置ベクトル $\vec{OC'}$ の偏角は、法線ベクトルの偏角 $\frac{\pi}{n}$ と $\frac{\pi}{n} + 2\theta$ の平均値である $\theta + \frac{\pi}{n}$ となる。

これにより、直線 $A_1A_2$ 上にある線分 $CC'$ について、$\angle COC' = \left(\theta + \frac{\pi}{n}\right) - \theta = \frac{\pi}{n}$ である。原点 $O$ から直線 $A_1A_2$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$H$ の偏角は $\frac{\pi}{n}$ であり、$OH = \cos\frac{\pi}{n}$ である。直角三角形 $\triangle OHC$ および $\triangle OHC'$ を考えると、

$$ \begin{aligned} HC &= OH \tan\angle HOC = \cos\frac{\pi}{n} \tan\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right) \\ HC' &= OH \tan\angle HOC' = \cos\frac{\pi}{n} \tan\theta \end{aligned} $$

したがって、三角形 $\triangle OCC'$ の面積 $S_1$ は次のように求まる。

$$ \begin{aligned} S_1 &= \frac{1}{2} OH \cdot CC' \\ &= \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{n} \left(HC + HC'\right) \\ &= \frac{1}{2} \cos^2\frac{\pi}{n} \left\{\tan\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right) + \tan\theta\right\} \end{aligned} $$

領域 $E$ は、正 $n$ 角形 $D$ と $D_{2\theta}$ の境界が交互に現れる $2n$ 角形である。原点 $O$ と $E$ の各頂点を結ぶことで、$E$ は $2n$ 個の三角形に分割される。対称性からこれらはすべて $\triangle OCC'$ と面積が等しい。ゆえに、重なる部分の面積 $S(\theta)$ は $S_1$ の $2n$ 倍となる。

$$ \begin{aligned} S(\theta) &= 2n \cdot S_1 \\ &= n \cos^2\frac{\pi}{n} \left\{\frac{\sin\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right)} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right\} \\ &= n \cos^2\frac{\pi}{n} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right)\cos\theta + \cos\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right)\sin\theta}{\cos\left(\frac{\pi}{n} - \theta\right)\cos\theta} \end{aligned} $$

分子は加法定理より $\sin\left(\frac{\pi}{n} - \theta + \theta\right) = \sin\frac{\pi}{n}$ となる。分母は積和の公式より $\frac{1}{2}\left\{\cos\frac{\pi}{n} + \cos\left(\frac{\pi}{n} - 2\theta\right)\right\}$ となる。

$$ S(\theta) = \frac{2n \sin\frac{\pi}{n} \cos^2\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n} + \cos\left(\frac{\pi}{n} - 2\theta\right)} $$

この式において、分子は $\theta$ に依存しない正の定数であるから、分母が最大となるときに $S(\theta)$ は最小となる。 $\theta$ の範囲 $0 \leqq \theta < \frac{\pi}{n}$ より、

$$ -\frac{\pi}{n} < \frac{\pi}{n} - 2\theta \leqq \frac{\pi}{n} $$

この範囲で $\cos\left(\frac{\pi}{n} - 2\theta\right)$ が最大となるのは、$\frac{\pi}{n} - 2\theta = 0$ のときである。よって、面積が最小となる $\theta$ の値は $\theta = \frac{\pi}{2n}$ である。

解説

正多角形の回転にまつわる典型的なテーマである。図形的な対称性から、(1) で「$\angle A_1OC = \theta$ ではないか」と予測を立てることは容易であるが、それを論証する際に図への依存度が大きくなりがちである。

本解答のように、直線の方程式（法線ベクトルと原点からの距離）を用いて機械的に交点の位置ベクトルを決定する手法は、作図の曖昧さを排除できるため非常に強力である。また、(2) において面積を求める際にも、交点の偏角が分かっていることで、重なり部分がどのような $2n$ 角形になるか（中心角が $\frac{\pi}{n}$ になることなど）を無理なく導くことができる。