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大阪大学 1986年理系第1問解説

方針・初手

(1) は無理数の証明の定石に従い、背理法を用いる。$\log_3 4$ が有理数であると仮定し、$p/q$（$p, q$ は互いに素な自然数）と置いて、整数の性質（偶奇性）から矛盾を導く。

(2) は「無理数の無理数乗が有理数になる」ような具体的な数の組を見つける問題である。(1) の結果が誘導となっていることに着目し、対数の性質 $X^{\log_X Y} = Y$ を利用して有理数を作り出せるような $a, b$ の組を構成する。

解法1

(1) $\log_3 4$ が有理数であると仮定する。 $\log_3 4 > 0$ であるから、互いに素な自然数 $p, q$ を用いて次のように表すことができる。

$$ \log_3 4 = \frac{p}{q} $$

対数の定義より、次が成り立つ。

$$ 3^{\frac{p}{q}} = 4 $$

両辺を $q$ 乗すると、次のように変形できる。

$$ 3^p = 4^q $$

ここで、$p, q$ は自然数であるから、左辺 $3^p$ は奇数であり、右辺 $4^q$ は偶数である。奇数と偶数が等しくなることはなく、これは矛盾である。したがって、$\log_3 4$ は無理数である。（証明終）

(2) (1) の結果を利用して、条件を満たす組を1つ構成する。 $a = \sqrt{3}, b = \log_3 4$ とする。 $\sqrt{3}$ は無理数であり、(1) より $\log_3 4$ も無理数である。このとき、$a^b$ を計算すると次のようになる。

$$ \begin{aligned} a^b &= (\sqrt{3})^{\log_3 4} \\ &= \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{\log_3 4} \\ &= 3^{\frac{1}{2} \log_3 4} \\ &= 3^{\log_3 4^{\frac{1}{2}}} \\ &= 3^{\log_3 2} \\ &= 2 \end{aligned} $$

$2$ は有理数であるから、$a = \sqrt{3}, b = \log_3 4$ は題意を満たす無理数の組である。

解法2

(2) の別解として、特定の対数値を使わずに存在を示す手法（非構成的証明）を示す。 $x = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ とおく。$x$ は実数であるから、有理数または無理数のいずれかである。

(i)

$x$ が有理数のとき $a = \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$ とおく。 $\sqrt{2}$ は無理数であるから、$a, b$ はともに無理数である。このとき、$a^b = \sqrt{2}^{\sqrt{2}} = x$ となり、（i）の仮定より $x$ は有理数であるから、$(a, b) = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ は条件を満たす組となる。

(ii)

$x$ が無理数のとき $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, b = \sqrt{2}$ とおく。（ii）の仮定より $a$ は無理数であり、$b$ は無理数である。このとき、$a^b$ を計算すると次のようになる。

$$ \begin{aligned} a^b &= \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2}^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2}^2 \\ &= 2 \end{aligned} $$

$2$ は有理数であるから、$(a, b) = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}, \sqrt{2})$ は条件を満たす組となる。

（i）, （ii）のいずれの場合においても、条件を満たす無理数の組 $a, b$ は存在し、それは $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ または $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}, \sqrt{2})$ のいずれかである。

解説

(1) は背理法を用いた無理数の証明の典型的な問題である。対数を有理数と仮定して指数方程式に直し、素因数の違い（今回は底が3と2で偶奇が異なること）から矛盾を導く流れは確実に習得しておく。

(2) は数学において「無理数の無理数乗が有理数になることはあるか」という有名な話題を問うものである。本問のように(1)が配置されている場合、解法1のように(1)の結果を用いて構成的に（具体的に数値を挙げて）1組提示するのが出題者の意図に沿った自然なアプローチである。一方、解法2は「非構成的証明」と呼ばれるもので、$x = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ が有理数か無理数かを特定せずに題意を満たす組の存在を示す鮮やかな論法として広く知られている。（なお、実際のところ $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ はゲルフォント＝シュナイダーの定理により無理数であることが証明されているため、（ii）の場合が該当する）