大阪大学 1996年 理系 第3問 解説

方針・初手

(1) は和 $\sum_{k=1}^n \log k$ を積分 $\int \log x \, dx$ で評価する典型的な問題である。関数 $y = \log x$ のグラフと、幅 $1$ の長方形の面積を比較することで不等式を導く。

(2) は階乗が含まれる数列の極限であり、そのままでは計算できないため、対数をとって (1) の不等式を活用し、はさみうちの原理に持ち込む。

解法1

(1)

関数 $f(x) = \log x$ は $x > 0$ において単調増加である。したがって、自然数 $k$ に対して、$k \leqq x \leqq k+1$ のとき、

$$ \log k \leqq \log x \leqq \log (k+1) $$

が成り立つ。この不等式を $x$ について $k$ から $k+1$ まで積分する。関数は定数関数ではないため等号は外れ、

$$ \int_{k}^{k+1} \log k \, dx < \int_{k}^{k+1} \log x \, dx < \int_{k}^{k+1} \log (k+1) \, dx $$

$$ \log k < \int_{k}^{k+1} \log x \, dx < \log (k+1) $$

となる。

まず、右側の不等式 $\int_{k}^{k+1} \log x \, dx < \log (k+1)$ を用いて下からの評価を行う。$k = 1, 2, \dots, n-1$ としたものを辺々加えると、

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log x \, dx < \sum_{k=1}^{n-1} \log (k+1) $$

左辺は区間がつながり $\int_{1}^{n} \log x \, dx$ となる。右辺は $\sum_{k=2}^{n} \log k$ であるが、$\log 1 = 0$ なので $\sum_{k=1}^{n} \log k$ と等しい。よって、

$$ \int_{1}^{n} \log x \, dx < \sum_{k=1}^{n} \log k $$

ここで、積分を計算すると、

$$ \int_{1}^{n} \log x \, dx = \left[ x \log x - x \right]_{1}^{n} = (n \log n - n) - (0 - 1) = n \log n - n + 1 $$

となるため、

$$ n \log n - n + 1 < \sum_{k=1}^{n} \log k \quad \cdots (A) $$

が成り立つ。

次に、左側の不等式 $\log k < \int_{k}^{k+1} \log x \, dx$ を用いて上からの評価を行う。同様に $k = 1, 2, \dots, n-1$ としたものを辺々加えると、

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \log k < \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log x \, dx $$

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \log k < \int_{1}^{n} \log x \, dx $$

両辺に $\log n$ を加えると、

$$ \sum_{k=1}^{n} \log k < \int_{1}^{n} \log x \, dx + \log n $$

先ほど求めた積分の結果を代入すると、

$$ \sum_{k=1}^{n} \log k < n \log n - n + 1 + \log n = (n+1) \log n - n + 1 \quad \cdots (B) $$

が成り立つ。

(A) と (B) より、

$$ n \log n - n + 1 < \sum_{k=1}^n \log k < (n+1) \log n - n + 1 $$

が成り立つことが示された。

(2)

求める極限値を $L$ とする。

$$ L = \lim_{n \to \infty} (n!)^{\frac{1}{n \log n}} $$

対数をとった数列を考える。$\log (n!) = \sum_{k=1}^{n} \log k$ であるから、

$$ \log \left\{ (n!)^{\frac{1}{n \log n}} \right\} = \frac{1}{n \log n} \log (n!) = \frac{1}{n \log n} \sum_{k=1}^{n} \log k $$

(1) で示した不等式の各辺を $n \log n$ で割る。$n \geqq 2$ より $n \log n > 0$ であるから、不等号の向きは変わらず、

$$ \frac{n \log n - n + 1}{n \log n} < \frac{1}{n \log n} \sum_{k=1}^n \log k < \frac{(n+1) \log n - n + 1}{n \log n} $$

左辺の極限を計算すると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n \log n - n + 1}{n \log n} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{n \log n} \right) = 1 - 0 + 0 = 1 $$

右辺の極限を計算すると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \log n - n + 1}{n \log n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{n \log n} \right) = 1 - 0 + 0 = 1 $$

したがって、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \log n} \sum_{k=1}^{n} \log k = 1 $$

すなわち、

$$ \lim_{n \to \infty} \log \left\{ (n!)^{\frac{1}{n \log n}} \right\} = 1 $$

対数関数 $\log x$ は連続関数であるため、

$$ \lim_{n \to \infty} (n!)^{\frac{1}{n \log n}} = e^1 = e $$

となる。

解説

区分求積法では極限が定積分に帰着するが、本問のように和の有限項での大きさを評価する場合は、グラフの面積比較（積分による評価）を用いるのが定石である。左端点と右端点のどちらを長方形の高さに採用するかによって、上からの評価と下からの評価が得られる。また、(2)のように $\square^{\frac{1}{\triangle}}$ の形をした極限は、対数をとることで $\frac{1}{\triangle} \log \square$ の形になり、和の極限や積分の問題に帰着させやすい。

答え

(1)

略（解法に記載の通り）

(2)

$e$