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大阪大学 1999年理系第5問解説

方針・初手

「どのように重ね合わせても重ならない」という条件をどう処理するかが最大のポイントである。 2枚の紙の四隅を合わせる重ね方は、回転角 $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$ の4通りある。この4通りのどの重ね方においても、Aが塗ったマスとBが塗ったマスが重ならないようにする必要がある。

ここで、正方形の紙の中心を軸に $90^\circ$ ずつ回転させたとき、互いに移り合うマス目を1つのグループとして分類する。どのマス目も自分自身を含めて4つのマス目と互いに移り合うため、16個のマス目は「4マスからなる4つのグループ」に分けられる。「どのように重ね合わせても重ならない」ということは、Bが選ぶ2つのマス目が、Aが選んだマス目が属するグループに含まれないことと同値である。したがって、Aが選んだ2マスが「同じグループに属するか」「異なるグループに属するか」で場合分けを行う。

解法1

正方形の紙の中心を軸として、$90^\circ$ ずつ回転させて互いに重なるマス目を1つのグループにまとめる。どのマス目も回転によって元の位置に戻るのは $360^\circ$ 回転したときのみであるため、各グループは必ず4つのマス目からなる。したがって、16個のマス目は以下のように4マスずつの4つのグループに分割される。

$G_1$：四隅の4マス
$G_2$：中央の $2 \times 2$ の4マス
$G_3$：残りの辺上の8マスのうち、回転で移り合う4マス
$G_4$：辺上の残りの4マス

A、Bはそれぞれ16マスのうちから無作為に2マスを選ぶため、その選び方はそれぞれ

$$ {}_{16}\mathrm{C}_{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120 \text{ 通り} $$

であり、AとBの選び方の全事象は $120 \times 120 = 14400$ 通りである。これらは同様に確からしい。

条件「どのように重ね合わせても重ならない」は、「Bが選んだ2マスが、Aの選んだマス目が属するグループに1つも含まれない」と言い換えられる。 Aが選んだ2マスが属するグループの状況によって、以下の2つの場合に分けて考える。

(i) Aが同じグループから2マスを選ぶ場合

Aの選び方は、4つのグループから1つを選び、その中の4マスから2マスを選ぶので、

$$ {}_4\mathrm{C}_{1} \times {}_4\mathrm{C}_{2} = 4 \times 6 = 24 \text{ 通り} $$

このとき、Aが選んだマス目は1つのグループにのみ属する。 Bの選ぶ2マスが、どの重ね方でもAのマスと重ならないためには、Bはこのグループに属さない残りの12マスから2マスを選べばよい。その選び方は、

$$ {}_{12}\mathrm{C}_{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 \text{ 通り} $$

よって、この場合の条件を満たすAとBのマス目の選び方は、

$$ 24 \times 66 = 1584 \text{ 通り} $$

(ii) Aが異なるグループから1マスずつ選ぶ場合

Aの選び方は、4つのグループから2つを選び、それぞれのグループの4マスから1マスずつ選ぶので、

$$ {}_4\mathrm{C}_{2} \times 4 \times 4 = 6 \times 16 = 96 \text{ 通り} $$

このとき、Aが選んだマス目は2つのグループにまたがる。 Bの選ぶ2マスが、どの重ね方でもAのマスと重ならないためには、Bはこの2つのグループに属さない残りの8マスから2マスを選べばよい。その選び方は、

$$ {}_8\mathrm{C}_{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \text{ 通り} $$

よって、この場合の条件を満たすAとBのマス目の選び方は、

$$ 96 \times 28 = 2688 \text{ 通り} $$

（i）と（ii）は互いに排反であるから、条件を満たす選び方の総数は、

$$ 1584 + 2688 = 4272 \text{ 通り} $$

したがって、求める確率は、

$$ \frac{4272}{14400} = \frac{267}{900} = \frac{89}{300} $$

解説

「どのように重ね合わせても重ならない」という条件の解釈が本問のすべてである。回転という操作に着目し、操作によって互いに移り合う要素を同値類（軌道）としてグループ分けする発想は、数学において非常に重要かつ強力な手法である。16マスの平面図形そのものを見るのではなく、「4つの要素を持つ4つのグループ」という抽象的な集合の問題に帰着させることで、計算ミスや数え漏れを防ぎ、見通しよく解き進めることができる。