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大阪大学 1988年理系第4問解説

方針・初手

(1) 三角方程式を解くために、和積の公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いて方程式を積の形にする。その後、$a > 1$ という条件に注意しながら、$x > 0$ における解を列挙し、最小のものを特定する。 (2)

$0 \leqq x \leqq \theta$ における2曲線の上下関係を調べたうえで、定積分の計算を行う。積分結果に現れる $\cos a\theta$ は、$\theta$ の値を利用して $\cos(\pi - \theta)$ と変形することで簡潔にまとまる。 (3) 極限の基本公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ が利用できる形へと式を変形する。$t = \frac{1}{a+1}$ などの置き換えを行うと、極限の構造が見やすくなる。

解法1

(1)

方程式 $\sin ax - \sin x = 0$ に対して和積の公式を用いると、

$$ 2 \cos \frac{(a+1)x}{2} \sin \frac{(a-1)x}{2} = 0 $$

これより、$\cos \frac{(a+1)x}{2} = 0$ または $\sin \frac{(a-1)x}{2} = 0$ である。 $a > 1$, $x > 0$ であるから、$\frac{(a+1)x}{2} > 0$ かつ $\frac{(a-1)x}{2} > 0$ となる。

$\cos \frac{(a+1)x}{2} = 0$ となる最小の正の解は、$\frac{(a+1)x}{2} = \frac{\pi}{2}$ より $x = \frac{\pi}{a+1}$ である。 $\sin \frac{(a-1)x}{2} = 0$ となる最小の正の解は、$\frac{(a-1)x}{2} = \pi$ より $x = \frac{2\pi}{a-1}$ である。

これら2つの解の大小を比較する。

$$ \frac{2\pi}{a-1} - \frac{\pi}{a+1} = \frac{2\pi(a+1) - \pi(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{\pi(a+3)}{a^2-1} $$

$a > 1$ より $\frac{\pi(a+3)}{a^2-1} > 0$ であるから、$\frac{\pi}{a+1} < \frac{2\pi}{a-1}$ が成り立つ。したがって、最小の解 $\theta$ は

$$ \theta = \frac{\pi}{a+1} $$

となる。

(2)

区間 $0 \leqq x \leqq \theta$ すなわち $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{a+1}$ における、2曲線 $y = \sin ax$ と $y = \sin x$ の上下関係を調べる。 $0 < x < \frac{\pi}{a+1}$ において、

$$ 0 < \frac{(a+1)x}{2} < \frac{\pi}{2} $$

であるから、$\cos \frac{(a+1)x}{2} > 0$ となる。また、$a > 1$ より $a - 1 > 0$ であり、

$$ 0 < \frac{(a-1)x}{2} < \frac{(a-1)\pi}{2(a+1)} < \frac{\pi}{2} $$

であるから、$\sin \frac{(a-1)x}{2} > 0$ となる。したがって、この区間で $\sin ax - \sin x = 2 \cos \frac{(a+1)x}{2} \sin \frac{(a-1)x}{2} > 0$ が成り立ち、曲線 $y = \sin ax$ は $y = \sin x$ の上側にある。

求める面積 $S(a)$ は、

$$ S(a) = \int_{0}^{\theta} (\sin ax - \sin x) dx $$

$$ = \left[ -\frac{1}{a} \cos ax + \cos x \right]_{0}^{\theta} $$

$$ = \left( -\frac{1}{a} \cos a\theta + \cos \theta \right) - \left( -\frac{1}{a} + 1 \right) $$

ここで、$\theta = \frac{\pi}{a+1}$ より、

$$ a\theta = \frac{a\pi}{a+1} = \frac{(a+1-1)\pi}{a+1} = \pi - \frac{\pi}{a+1} = \pi - \theta $$

となるから、$\cos a\theta = \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ である。これを代入して整理すると、

$$ S(a) = \frac{1}{a} \cos \theta + \cos \theta + \frac{1}{a} - 1 = \frac{a+1}{a} \cos \theta - \frac{a-1}{a} $$

$\theta = \frac{\pi}{a+1}$ を代入して、

$$ S(a) = \frac{a+1}{a} \cos \frac{\pi}{a+1} - \frac{a-1}{a} $$

(3)

(2)で求めた $S(a)$ を用いて、$\lim_{a \to \infty} (a+1)S(a)$ を計算する。 $t = \frac{1}{a+1}$ とおくと、$a \to \infty$ のとき $t \to +0$ である。このとき、$a+1 = \frac{1}{t}$ より $a = \frac{1-t}{t}$ となる。与式を $t$ を用いて表すと、

$$ (a+1)S(a) = \frac{1}{t} \left( \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1-t}{t}} \cos \pi t - \frac{\frac{1-t}{t}-1}{\frac{1-t}{t}} \right) $$

$$ = \frac{1}{t} \left( \frac{1}{1-t} \cos \pi t - \frac{1-2t}{1-t} \right) $$

$$ = \frac{\cos \pi t - 1 + 2t}{t(1-t)} $$

$$ = \frac{1}{1-t} \left( \frac{\cos \pi t - 1}{t} + 2 \right) $$

ここで、$\frac{\cos \pi t - 1}{t}$ の極限を考える。分母・分子に $\cos \pi t + 1$ を掛けると、

$$ \lim_{t \to +0} \frac{\cos \pi t - 1}{t} = \lim_{t \to +0} \frac{-\sin^2 \pi t}{t(\cos \pi t + 1)} $$

$$ = \lim_{t \to +0} \left( - \pi \cdot \frac{\sin \pi t}{\pi t} \cdot \frac{\sin \pi t}{\cos \pi t + 1} \right) $$

$t \to +0$ のとき、$\frac{\sin \pi t}{\pi t} \to 1$ であり、$\frac{\sin \pi t}{\cos \pi t + 1} \to \frac{0}{2} = 0$ であるから、

$$ \lim_{t \to +0} \frac{\cos \pi t - 1}{t} = -\pi \cdot 1 \cdot 0 = 0 $$

以上より、求める極限は、

$$ \lim_{a \to \infty} (a+1)S(a) = \lim_{t \to +0} \frac{1}{1-t} \left( \frac{\cos \pi t - 1}{t} + 2 \right) = \frac{1}{1-0} (0 + 2) = 2 $$

解法2

(3)について、変数を置き換えずにそのまま極限を計算する別解を示す。

$$ (a+1)S(a) = \frac{(a+1)^2}{a} \cos \frac{\pi}{a+1} - \frac{a^2-1}{a} $$

式の中に $\cos X - 1$ の形を作るため、$-\frac{(a+1)^2}{a} + \frac{(a+1)^2}{a} = 0$ を加えて変形する。

$$ (a+1)S(a) = \frac{(a+1)^2}{a} \left( \cos \frac{\pi}{a+1} - 1 \right) + \frac{(a+1)^2}{a} - \frac{a^2-1}{a} $$

$$ = \frac{(a+1)^2}{a} \cdot \frac{-\sin^2 \frac{\pi}{a+1}}{1 + \cos \frac{\pi}{a+1}} + \frac{2a+2}{a} $$

ここで、第1項の一部の極限を調べる。

$$ \frac{(a+1)^2}{a} \sin^2 \frac{\pi}{a+1} = \frac{1}{a} \cdot (a+1)^2 \sin^2 \frac{\pi}{a+1} = \frac{\pi^2}{a} \left( \frac{\sin \frac{\pi}{a+1}}{\frac{\pi}{a+1}} \right)^2 $$

$a \to \infty$ のとき、$\frac{\pi}{a+1} \to +0$ であるから $\frac{\sin \frac{\pi}{a+1}}{\frac{\pi}{a+1}} \to 1$ となる。また、$\frac{\pi^2}{a} \to 0$ であるため、

$$ \lim_{a \to \infty} \frac{(a+1)^2}{a} \sin^2 \frac{\pi}{a+1} = 0 \cdot 1^2 = 0 $$

となる。さらに、$a \to \infty$ のとき $1 + \cos \frac{\pi}{a+1} \to 2$ であるから、第1項全体の極限は $0$ である。一方、第2項の極限は、

$$ \lim_{a \to \infty} \frac{2a+2}{a} = \lim_{a \to \infty} \left( 2 + \frac{2}{a} \right) = 2 $$

したがって、求める極限は、

$$ \lim_{a \to \infty} (a+1)S(a) = 0 + 2 = 2 $$

解説

本問は、三角関数の和積の公式、定積分、そして極限の計算を組み合わせた標準的な微積分問題である。 (1)での解の特定では、単に方程式を解くだけでなく、周期の違いによる解の大小比較を正確に行う必要がある。 (2)の積分計算では、$\cos a\theta$ を $\cos(\pi-\theta)$ と見なす変形が計算を大きく簡略化するポイントとなる。このような図形的・周期的な性質を用いた式の整理は、ミスを減らすうえで重要である。 (3)の極限では、$\cos x - 1$ の処理や $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ の基本公式に帰着させるための式変形力が問われる。解法1のように変数を置き換える手法は、極限の行き先を $0$ に揃えられるため、見通しが良くなり安全である。