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大阪大学 2008年理系第5問解説

方針・初手

$n$ 回目で反復試行が終わるための条件を正確に把握する。この試行がちょうど $n$ 回目で終わるためには、最後の500回が連続して「表」であり、その直前である $n-500$ 回目は必ず「裏」でなければならない。さらに、それ以前の試行で「500回連続で表が出る」ことが一度も起きていない必要がある。この構造に着目し、$n$ 回目で終わる確率 $p(n)$ を立式し、漸化式を導く。

解法1

(1)

$501 \leqq n \leqq 1000$ のとき、試行が $n$ 回目で終わる事象は、以下の条件を同時に満たすことと同値である。

$n-500$ 回目が「裏」である。
$n-499$ 回目から $n$ 回目までの500回がすべて「表」である。

ここで、$n \leqq 1000$ であるため、1回目から $n-501$ 回目までの試行回数は最大でも $1000-501 = 499$ 回である。したがって、1回目から $n-501$ 回目までの間に「500回連続で表が出る」ことは絶対に起こり得ず、前半の試行結果によってゲームが途中で終了することはない。

よって、1回目から $n-501$ 回目までの結果はどうであってもよく、$n$ 回目で終わる確率は、後半の指定された出方が起こる確率のみで決まる。

$$ p(n) = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{500} = \left( \frac{1}{2} \right)^{501} $$

これは $n$ の値に関係なく一定の値である。

(2)

(1)の考え方を拡張し、一般の $n \geqq 501$ について $p(n)$ を立式する。 $n$ 回目で試行が終わる事象は、以下の2つの事象が同時に起こることと同値である。

事象A：1回目から $n-501$ 回目までの間に「500回連続で表」が出ない（ゲームが終了しない）。
事象B：$n-500$ 回目が「裏」であり、$n-499$ 回目から $n$ 回目までが「表」である。

事象Aと事象Bは互いに独立な試行に関する事象である。ここで、ちょうど $k$ 回目でゲームが終了する確率が $p(k)$ であるから、$n-501$ 回目までにゲームが終了する確率は $\sum_{k=500}^{n-501} p(k)$ と表せる。したがって、事象Aが起こる確率は $1 - \sum_{k=500}^{n-501} p(k)$ である（ただし、$n-501 < 500$ のときは和を $0$ とする）。

事象Bが起こる確率は $\frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{500} = \left( \frac{1}{2} \right)^{501}$ である。よって、$p(n)$ は次のように表される。

$$ p(n) = \left\{ 1 - \sum_{k=500}^{n-501} p(k) \right\} \left( \frac{1}{2} \right)^{501} $$

$n$ を $n+1$ に置き換えると、以下の式を得る。

$$ p(n+1) = \left\{ 1 - \sum_{k=500}^{n-500} p(k) \right\} \left( \frac{1}{2} \right)^{501} $$

この2式の辺々を引くと、シグマの部分の差分が $p(n-500)$ となるため、

$$ p(n+1) - p(n) = - p(n-500) \left( \frac{1}{2} \right)^{501} $$

が成り立つ（これは $n-500 \geqq 500$ すなわち $n \geqq 1000$ で意味を持つ漸化式である）。

この漸化式に $n = 1001$ を代入すると、

$$ p(1002) - p(1001) = - p(501) \left( \frac{1}{2} \right)^{501} $$

(1)より $p(501) = \left( \frac{1}{2} \right)^{501}$ であるから、

$$ p(1002) - p(1001) = - \left( \frac{1}{2} \right)^{501} \left( \frac{1}{2} \right)^{501} = - \left( \frac{1}{2} \right)^{1002} $$

(3)

(2)で導いた漸化式

$$ p(n+1) - p(n) = - p(n-500) \left( \frac{1}{2} \right)^{501} $$

において、$1002 \leqq n \leqq 1500$ の場合を考える。このとき、右辺の $p(n-500)$ のインデックス $n-500$ がとり得る値の範囲は、

$$ 502 \leqq n-500 \leqq 1000 $$

となる。 (1)より、この範囲にある任意の整数 $k$ に対して $p(k) = \left( \frac{1}{2} \right)^{501}$ である。したがって、$1002 \leqq n \leqq 1500$ のとき、

$$ p(n+1) - p(n) = - \left( \frac{1}{2} \right)^{501} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{501} = - \left( \frac{1}{2} \right)^{1002} $$

となり、これも $n$ の値に関係なく一定の値をとる。

解説

「ある条件を満たして終了する」タイプの反復試行の確率では、終了直前の状態を固定し、それより前の事象との独立性に注目する考え方が非常に有効である。本問では、「直前が裏、その後500回表」という終端のパターンと、「それ以前に終わっていない」という累積確率を掛け合わせることで、美しい形をした階差数列の漸化式を導出できる。漸化式さえ正しく作れれば、(2)や(3)は単なる代入計算に帰着する。