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大阪大学 2008年理系第4問解説

方針・初手

2つの曲線の交点の $x$ 座標と、指定された区間での曲線の上下関係を調べ、積分区間と被積分関数を決定する。回転体の体積は $\pi \int (y_{上}^2 - y_{下}^2) dx$ で計算できる。体積の関数 $V(t)$ を求めた後は、指数関数の形に着目して適切な文字の置き換えを行い、多項式の微分による最大値問題に帰着させる。

解法1

(1)

曲線 $y=2^{2x+2t}$ と $y=2^{x+3t}$ の交点の $x$ 座標を求める。

$$ 2^{2x+2t} = 2^{x+3t} $$

$$ 2x+2t = x+3t $$

$$ x = t $$

$t$ は負の実数であるから、$t < 0$ である。積分区間は $t \leqq x \leqq 0$ となる。この区間における2曲線の上下関係を調べるために、指数の大小を比較する。

$$ (2x+2t) - (x+3t) = x - t $$

$t \leqq x$ より $x - t \geqq 0$ であるため、$2x+2t \geqq x+3t$ が成り立つ。底 $2$ は $1$ より大きいので、この区間では常に $2^{2x+2t} \geqq 2^{x+3t} > 0$ であり、曲線 $y=2^{2x+2t}$ が上側に位置する。

したがって、求める回転体の体積 $V(t)$ は次のように立式できる。

$$ V(t) = \pi \int_{t}^{0} \left\{ \left( 2^{2x+2t} \right)^2 - \left( 2^{x+3t} \right)^2 \right\} dx $$

$$ V(t) = \pi \int_{t}^{0} \left( 2^{4x+4t} - 2^{2x+6t} \right) dx $$

指数関数の積分公式を用いて計算する。

$$ V(t) = \pi \left[ \frac{2^{4x+4t}}{4 \log 2} - \frac{2^{2x+6t}}{2 \log 2} \right]_{t}^{0} $$

$$ V(t) = \frac{\pi}{4 \log 2} \left[ 2^{4x+4t} - 2 \cdot 2^{2x+6t} \right]_{t}^{0} $$

$x=0$ と $x=t$ を代入する。

$$ V(t) = \frac{\pi}{4 \log 2} \left\{ \left( 2^{4t} - 2 \cdot 2^{6t} \right) - \left( 2^{8t} - 2 \cdot 2^{8t} \right) \right\} $$

$$ V(t) = \frac{\pi}{4 \log 2} \left( 2^{8t} - 2 \cdot 2^{6t} + 2^{4t} \right) $$

(2)

(1) で求めた $V(t)$ について、$X = 2^{2t}$ とおく。 $t < 0$ であるから、指数の取り得る値の範囲より $0 < X < 1$ である。

$V(t)$ を $X$ の関数 $f(X)$ として表す。

$$ f(X) = \frac{\pi}{4 \log 2} \left( X^4 - 2X^3 + X^2 \right) $$

かっこ内の多項式を $g(X) = X^4 - 2X^3 + X^2$ とおき、$0 < X < 1$ における $g(X)$ の最大値を求める。 $g(X)$ を $X$ で微分する。

$$ g'(X) = 4X^3 - 6X^2 + 2X $$

$$ g'(X) = 2X (2X^2 - 3X + 1) $$

$$ g'(X) = 2X (2X - 1)(X - 1) $$

$g'(X) = 0$ となる $X$ の値は、範囲 $0 < X < 1$ においては $X = \frac{1}{2}$ のみである。これをもとに増減表を作成する。

$$ \begin{array}{c|ccccc} X & (0) & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & (1) \\ \hline g'(X) & & + & 0 & - & \\ \hline g(X) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \end{array} $$

増減表より、$g(X)$ は $X = \frac{1}{2}$ のとき最大となる。このときの $g(X)$ の値は以下の通りである。

$$ g\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$

$$ g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{16} - \frac{2}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{16} $$

よって、$V(t)$ の最大値は以下のように求まる。

$$ V(t) \text{の最大値} = \frac{\pi}{4 \log 2} \times \frac{1}{16} = \frac{\pi}{64 \log 2} $$

（参考：$X = \frac{1}{2}$ のとき、$2^{2t} = 2^{-1}$ より $t = -\frac{1}{2}$ となり、これは $t < 0$ を満たす。）

解説

回転体の体積を求める定積分と、置き換えを用いた関数の最大値問題を組み合わせた標準的な問題である。 (1) では、被積分関数が $2^{ax+b}$ のような形になるため、積分公式 $\int a^{cx} dx = \frac{a^{cx}}{c \log a} + C$ を正確に適用できるかどうかが問われている。 (2) では、$V(t)$ を展開した式が $2^{2t}$ をまとまりとして見やすい形をしていることに気づけば、$X = 2^{2t}$ の置き換えにより4次関数の最大・最小問題に帰着させることができる。置き換えを行った際は、変数の変域が変化すること（ここでは $0 < X < 1$）に注意して増減を調べるのが定石である。