大阪大学 2010年 理系 第2問 解説

方針・初手

2つの曲線 $C_1, C_2$ の方程式を連立し、第1象限にある交点 $P$ の座標を求める。 2次曲線上の点における接線の方程式の公式を用いて、点 $P$ における2つの接線 $l_1, l_2$ の方程式を立てる。 接線の $y$ 切片を求め、線分 $QR$ の長さを $\theta$ で表す。 得られた関数について、相加平均と相乗平均の大小関係、または微積分を用いて最小値を求める。

解法1

2つの曲線の方程式は以下の通りである。

$$ C_1 : x^2 + 3y^2 = 3 $$

$$ C_2 : \frac{x^2}{\cos^2\theta} - \frac{y^2}{\sin^2\theta} = 2 $$

まず交点 $P$ の座標を求める。$C_1$ の方程式より $x^2 = 3(1 - y^2)$ であり、これを $C_2$ の方程式に代入する。

$$ \frac{3(1 - y^2)}{\cos^2\theta} - \frac{y^2}{\sin^2\theta} = 2 $$

両辺に $\sin^2\theta \cos^2\theta$ を掛けて整理する。

$$ 3\sin^2\theta (1 - y^2) - y^2\cos^2\theta = 2\sin^2\theta\cos^2\theta $$

$$ y^2(3\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 3\sin^2\theta - 2\sin^2\theta\cos^2\theta $$

ここで、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて式を $\sin\theta$ のみに統一する。

左辺の括弧内は $3\sin^2\theta + (1 - \sin^2\theta) = 2\sin^2\theta + 1$ となる。 右辺は $3\sin^2\theta - 2\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta) = \sin^2\theta + 2\sin^4\theta = \sin^2\theta(2\sin^2\theta + 1)$ となる。

これらを代入して方程式を書き換える。

$$ y^2(2\sin^2\theta + 1) = \sin^2\theta(2\sin^2\theta + 1) $$

$2\sin^2\theta + 1 > 0$ であるから、両辺を割ることができる。

$$ y^2 = \sin^2\theta $$

点 $P$ は $x$ 座標、$y$ 座標がともに正の点であり、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\sin\theta > 0$ であるため、$y = \sin\theta$ と求まる。 このとき $x^2 = 3(1 - \sin^2\theta) = 3\cos^2\theta$ であり、$x > 0, \cos\theta > 0$ より $x = \sqrt{3}\cos\theta$ と求まる。 以上より、交点 $P$ の座標は $P(\sqrt{3}\cos\theta, \sin\theta)$ である。

次に、点 $P$ における $C_1, C_2$ の接線 $l_1, l_2$ の方程式を求める。 $C_1$ 上の点 $P(\sqrt{3}\cos\theta, \sin\theta)$ における接線 $l_1$ の方程式は以下のようになる。

$$ \sqrt{3}\cos\theta \cdot x + 3\sin\theta \cdot y = 3 $$

$l_1$ と $y$ 軸の交点 $Q$ は $x = 0$ を代入して $3\sin\theta \cdot y = 3$ より $y = \frac{1}{\sin\theta}$ となる。したがって $Q\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ である。

また、$C_2$ 上の点 $P(\sqrt{3}\cos\theta, \sin\theta)$ における接線 $l_2$ の方程式は以下のようになる。

$$ \frac{\sqrt{3}\cos\theta \cdot x}{\cos^2\theta} - \frac{\sin\theta \cdot y}{\sin^2\theta} = 2 $$

$$ \frac{\sqrt{3}}{\cos\theta} x - \frac{1}{\sin\theta} y = 2 $$

$l_2$ と $y$ 軸の交点 $R$ は $x = 0$ を代入して $-\frac{1}{\sin\theta} y = 2$ より $y = -2\sin\theta$ となる。したがって $R(0, -2\sin\theta)$ である。

これより、線分 $QR$ の長さを求める。 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin\theta > 0$ であるから、点 $Q$ の $y$ 座標は正、点 $R$ の $y$ 座標は負である。 したがって、線分 $QR$ の長さは両者の $y$ 座標の差をとって以下のように表せる。

$$ QR = \frac{1}{\sin\theta} - (-2\sin\theta) = \frac{1}{\sin\theta} + 2\sin\theta $$

この最小値を相加平均と相乗平均の大小関係を用いて求める。 $\frac{1}{\sin\theta} > 0, 2\sin\theta > 0$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$ QR = \frac{1}{\sin\theta} + 2\sin\theta \geqq 2\sqrt{\frac{1}{\sin\theta} \cdot 2\sin\theta} = 2\sqrt{2} $$

等号成立条件は $\frac{1}{\sin\theta} = 2\sin\theta$、すなわち $\sin^2\theta = \frac{1}{2}$ のときである。 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲においてこれを満たすのは $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$ のときであり、条件を満たす $\theta$ は確実に存在する。 よって、線分 $QR$ の長さの最小値は $2\sqrt{2}$ である。

解法2

交点 $P$ の求め方と、最小値の求め方に対する別解を示す。

$C_1$ の方程式は $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ と変形できるため、$C_1$ は楕円である。 点 $P$ は $C_1$ 上の第1象限の点であるから、媒介変数 $\alpha$ （$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$）を用いて $P(\sqrt{3}\cos\alpha, \sin\alpha)$ とおくことができる。 これが $C_2$ 上にも存在するため、$C_2$ の方程式に代入する。

$$ \frac{3\cos^2\alpha}{\cos^2\theta} - \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\theta} = 2 $$

両辺に $\cos^2\theta \sin^2\theta$ を掛けて分母を払う。

$$ 3\cos^2\alpha \sin^2\theta - \sin^2\alpha \cos^2\theta = 2\sin^2\theta \cos^2\theta $$

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ を代入し、$\alpha$ について整理する。

$$ 3(1 - \sin^2\alpha)\sin^2\theta - \sin^2\alpha\cos^2\theta = 2\sin^2\theta\cos^2\theta $$

$$ 3\sin^2\theta - \sin^2\alpha(3\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 2\sin^2\theta(1 - \sin^2\theta) $$

さらに $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて $\theta$ についての項を $\sin\theta$ のみにする。

$$ 3\sin^2\theta - \sin^2\alpha(2\sin^2\theta + 1) = 2\sin^2\theta - 2\sin^4\theta $$

移項して因数分解する。

$$ \sin^2\alpha(2\sin^2\theta + 1) = \sin^2\theta + 2\sin^4\theta $$

$$ \sin^2\alpha(2\sin^2\theta + 1) = \sin^2\theta(1 + 2\sin^2\theta) $$

$2\sin^2\theta + 1 > 0$ であるため、両辺を割ると $\sin^2\alpha = \sin^2\theta$ となる。 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ および $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\sin$ 関数は正の値をとり単調増加であるから、$\alpha = \theta$ であることが分かる。 よって、$P(\sqrt{3}\cos\theta, \sin\theta)$ である。

接線 $l_1, l_2$ と $y$ 軸との交点 $Q, R$ を求め、$QR = \frac{1}{\sin\theta} + 2\sin\theta$ を得るまでの過程は解法1と同様である。

ここで、$\sin\theta = t$ とおく。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $0 < t < 1$ である。 線分 $QR$ の長さを $t$ の関数として $f(t)$ とおくと、以下のようになる。

$$ f(t) = \frac{1}{t} + 2t $$

これを $t$ で微分する。

$$ f'(t) = -\frac{1}{t^2} + 2 = \frac{2t^2 - 1}{t^2} $$

$f'(t) = 0$ となるのは $2t^2 - 1 = 0$ すなわち $t^2 = \frac{1}{2}$ のときであり、$t > 0$ より $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。 $0 < t < 1$ の範囲において、$0 < t < \frac{1}{\sqrt{2}}$ では $f'(t) < 0$ となり単調減少、$\frac{1}{\sqrt{2}} < t < 1$ では $f'(t) > 0$ となり単調増加する。 したがって、$f(t)$ は $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ において極小かつ最小となる。

最小値は以下のように計算される。

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} $$

よって、線分 $QR$ の長さの最小値は $2\sqrt{2}$ である。

解説

2次曲線の交点と接線を求める標準的かつ総合的な問題である。 交点 $P$ を求める際の連立方程式は一見複雑そうに見えるが、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を活用して変数を減らすことで綺麗に解くことができる。解法2のように、2次曲線を媒介変数表示で表すことで、計算の見通しが良くなる場合もある。 最後に関数の最小値を求める部分では、式が互いに逆数の形を含んでいるため、微分を用いなくとも相加平均と相乗平均の大小関係を利用することでより簡明に答えにたどり着ける。

答え

$2\sqrt{2}$