大阪大学 2011年 理系 第1問 解説

方針・初手

行列による1次変換の問題である。

(1) は成分比較により極座標における動径 $r$ と偏角 $\theta$ の成分を定める。

(2) は行列の積が回転と拡大の合成であることを利用して、点 $Q_n$ の位置を捉える。面積は三角形の公式を用いて計算する。

(3) は条件に従って方程式・不等式を立てる問題である。四捨五入の条件は不等式で表現し、対数を用いた桁数の評価を行う。

解法1

(1)

行列 $A$ の成分を比較する。

$$ \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos \theta & -r \sin \theta \\ r \sin \theta & r \cos \theta \end{pmatrix} $$

これより、以下の2式が得られる。

$$ r \cos \theta = a $$

$$ r \sin \theta = 1 $$

両辺をそれぞれ2乗して加えると、

$$ r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2 + 1 $$

$$ r^2 = a^2 + 1 $$

$r > 0$ であるから、

$$ r = \sqrt{a^2 + 1} $$

これを先ほどの式に代入して、

$$ \cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}, \quad \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} $$

(2)

行列 $A$ は、原点を中心とする角 $\theta$ の回転と、原点からの距離を $r$ 倍にする拡大の合成変換を表す。

点 $Q_1(1, 0)$ をこの変換で移していくため、点 $Q_n$ の極座標 $(r_n, \theta_n)$ は、

$$ r_n = r^{n-1}, \quad \theta_n = (n-1)\theta $$

となる。したがって、$\triangle OQ_nQ_{n+1}$ について以下のことが言える。

$$ OQ_n = r^{n-1}, \quad OQ_{n+1} = r^n, \quad \angle Q_n O Q_{n+1} = \theta $$

ここで、$a$ は自然数（$a \geqq 1$）であるから、(1)より $\cos \theta > 0, \sin \theta > 0$ となり、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

$\triangle OQ_nQ_{n+1}$ の面積 $S(n)$ は、

$$ S(n) = \frac{1}{2} OQ_n \cdot OQ_{n+1} \sin \theta = \frac{1}{2} r^{n-1} \cdot r^n \sin \theta = \frac{1}{2} r^{2n-1} \sin \theta $$

(1) の結果を代入すると、

$$ S(n) = \frac{1}{2} (\sqrt{a^2 + 1})^{2n-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{1}{2} (\sqrt{a^2 + 1})^{2n-2} = \frac{1}{2} (a^2 + 1)^{n-1} $$

(3)

変換 $f$ によって点 $P(x, y)$ が $(2, 7)$ に移されるので、

$$ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix} $$

$a$ は自然数より行列式 $|A| = a^2 + 1 \neq 0$ となるため、逆行列 $A^{-1}$ が存在する。

$$ A^{-1} = \frac{1}{a^2 + 1} \begin{pmatrix} a & 1 \\ -1 & a \end{pmatrix} $$

これを用いて点 $P$ の座標を求める。

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{a^2 + 1} \begin{pmatrix} a & 1 \\ -1 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix} = \frac{1}{a^2 + 1} \begin{pmatrix} 2a + 7 \\ 7a - 2 \end{pmatrix} $$

$x$ 座標は $x = \frac{2a+7}{a^2+1}$ である。この値の小数第一位を四捨五入すると $2$ になるので、

$$ 1.5 \leqq \frac{2a+7}{a^2+1} < 2.5 $$

$a^2+1 > 0$ より、各辺に $2(a^2+1)$ を掛ける。

$$ 3(a^2 + 1) \leqq 4a + 14 < 5(a^2 + 1) $$

この連立不等式を解く。

左側の不等式 $3a^2 + 3 \leqq 4a + 14$ より、

$$ 3a^2 - 4a - 11 \leqq 0 $$

解の公式を用いると、$\frac{2 - \sqrt{37}}{3} \leqq a \leqq \frac{2 + \sqrt{37}}{3}$ となる。

$6 < \sqrt{37} < 7$ より、$\frac{2 + \sqrt{37}}{3} = 2.\dots$ である。自然数 $a$ は $a = 1, 2$。

右側の不等式 $4a + 14 < 5a^2 + 5$ より、

$$ 5a^2 - 4a - 9 > 0 $$

$$ (5a - 9)(a + 1) > 0 $$

$a < -1$ または $a > \frac{9}{5}$ となる。自然数 $a$ は $a \geqq 2$。

両方の条件を満たす自然数 $a$ は、 $a = 2$ である。

このとき、(2) の結果より $S(n) = \frac{1}{2} (2^2+1)^{n-1} = \frac{1}{2} 5^{n-1}$ となる。

$S(n) > 10^{10}$ となる条件を求める。

$$ \frac{1}{2} 5^{n-1} > 10^{10} $$

$$ 5^{n-1} > 2 \times 10^{10} $$

両辺の常用対数をとる。

$$ (n-1) \log_{10} 5 > \log_{10} 2 + 10 $$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2$ であるから、

$$ (n-1)(1 - \log_{10} 2) > 10 + \log_{10} 2 $$

$$ n - 1 > \frac{10 + \log_{10} 2}{1 - \log_{10} 2} $$

関数 $g(t) = \frac{10 + t}{1 - t} = \frac{11}{1 - t} - 1$ は $0 < t < 1$ で単調増加であり、与えられた条件 $0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$ を用いると、

$$ \frac{10 + 0.3}{1 - 0.3} < \frac{10 + \log_{10} 2}{1 - \log_{10} 2} < \frac{10 + 0.31}{1 - 0.31} $$

$$ \frac{10.3}{0.7} < \frac{10 + \log_{10} 2}{1 - \log_{10} 2} < \frac{10.31}{0.69} $$

それぞれの端の値を計算する。

$$ \frac{10.3}{0.7} = \frac{103}{7} = 14.71\dots $$

$$ \frac{10.31}{0.69} = \frac{1031}{69} = 14.94\dots $$

したがって、

$$ 14.71\dots < \frac{10 + \log_{10} 2}{1 - \log_{10} 2} < 14.94\dots $$

$n - 1$ はこの値より大きい最小の整数であるから、 $n - 1 = 15$ 、すなわち $n = 16$ である。

解説

行列の1次変換が「回転」と「拡大」の合成であることを理解しているかを問う標準的な問題である。

• (1) と (2) では、行列を無理に累乗計算するのではなく、図形的な意味（極座標による回転と拡大）を捉えると計算量が大幅に減る。
• (3) での「小数第一位を四捨五入すると $2$」という条件は、$1.5 \leqq x < 2.5$ と不等式で処理するのが定石である。
• 最後の常用対数の評価では、不等式の分母と分子に変数があるため、単調性を利用して厳密に範囲を絞り込む必要がある。

答え

(1)

$r = \sqrt{a^2 + 1}$ $\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$ $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}}$

(2)

$S(n) = \frac{1}{2} (a^2 + 1)^{n-1}$

(3)

$a = 2$ 最小の $n$ は $n = 16$