大阪大学 2011年 理系 第2問 解説

方針・初手

線分 $\text{PQ}$ の通過領域 $D$ を求めることが最初の目標となる。図形全体の動きを一度に把握するのは困難なため、定石通り「$x$ を固定して $y$ のとりうる値の範囲を求める」という方針（ファクシミリの原理）をとる。

線分 $\text{PQ}$ を表す直線の方程式を立式し、ある $x$ を固定したときの $y$ を $\theta$ の関数とみなして最大値を求め、領域 $D$ の境界線（上端）を明らかにする。その後、得られた境界線を用いて回転体の体積を積分で計算する。

解法1

$\theta = 0$ のとき、点 $\text{P}$ は $(0, 0)$、点 $\text{Q}$ は $(8, 0)$ となり、線分 $\text{PQ}$ は $x$ 軸上の $0 \leqq x \leqq 8$ の部分となる。 $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、点 $\text{P}$ は $(0, 1)$、点 $\text{Q}$ は $(0, 0)$ となり、線分 $\text{PQ}$ は $y$ 軸上の $0 \leqq y \leqq 1$ の部分となる。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、点 $\text{P}(0, \sin\theta)$ と点 $\text{Q}(8\cos\theta, 0)$ を通る直線の方程式は、

$$ \frac{x}{8\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} = 1 $$

である。この直線のうち、線分 $\text{PQ}$ に対応する部分は $0 \leqq x \leqq 8\cos\theta$ を満たす。これを $y$ について解くと、

$$ y = \sin\theta - \frac{x\sin\theta}{8\cos\theta} $$

となる。領域 $D$ を求めるため、$x$ を $0 < x < 8$ の範囲で固定し、$\theta$ を動かしたときの $y$ のとりうる範囲を考える。 $x \leqq 8\cos\theta$ より、$\cos\theta \geqq \frac{x}{8}$ が満たされる範囲で $\theta$ は変化する。このとき $0 < \cos\theta < 1$ である。

固定した $x$ に対して、$f(\theta) = \sin\theta - \frac{x\sin\theta}{8\cos\theta}$ とおき、これを $\theta$ で微分する。

$$ f'(\theta) = \cos\theta - \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^3\theta - \frac{x}{8}}{\cos^2\theta} $$

$f'(\theta) = 0$ となるのは $\cos^3\theta = \frac{x}{8}$、すなわち $\cos\theta = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{2}$ のときである。 $0 < x < 8$ より、$\frac{x}{8} < \frac{x^{\frac{1}{3}}}{2} < 1$ が成り立つため、$\cos\theta = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{2}$ を満たす $\theta$ （これを $\alpha$ とする）は、考えるべき $\theta$ の定義域内に存在する。

$\theta$ が $\alpha$ の前後で $\cos\theta$ の値は減少するため、$f'(\theta)$ は正から負へと符号を変える。したがって、$f(\theta)$ は $\theta = \alpha$ で最大値をとる。 このとき、$\cos\alpha = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{2}$ より、

$$ \sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}} $$

であるから、$y$ の最大値は、

$$ y = \sin\alpha \left( 1 - \frac{x}{8\cos\alpha} \right) = \sqrt{1 - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}} \left( 1 - \frac{x}{8 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{2}} \right) $$

$$ = \sqrt{1 - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}} \left( 1 - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} \right) = \left( 1 - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} \right)^{\frac{3}{2}} $$

となる。これが領域 $D$ の上端（境界）を表す曲線である。 両辺を $\frac{2}{3}$ 乗して整理すると、

$$ y^{\frac{2}{3}} = 1 - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} $$

$$ \left(\frac{x}{8}\right)^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 $$

となり、境界がアステロイドの一部であることがわかる。 求める体積 $V$ は、この曲線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回転させたものであるから、

$$ V = \pi \int_0^8 y^2 \,dx = \pi \int_0^8 \left( 1 - \frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} \right)^3 \,dx $$

ここで、$x = 8\cos^3 t$ $\left(0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}\right)$ と置換する。 $dx = -24\cos^2 t \sin t \,dt$ であり、$x$ が $0$ から $8$ まで変化するとき、$t$ は $\frac{\pi}{2}$ から $0$ まで変化する。

$$ V = \pi \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \left( 1 - \cos^2 t \right)^3 (-24\cos^2 t \sin t) \,dt $$

$$ = 24\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 t)^3 \cos^2 t \sin t \,dt = 24\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 t \cos^2 t \,dt $$

積分を計算するために、$\sin^7 t \cos^2 t = (1-\cos^2 t)^3 \cos^2 t \sin t$ と変形し、$u = \cos t$ とおく。 $du = -\sin t \,dt$ であり、$t$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$u$ は $1$ から $0$ まで変化する。

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 t \cos^2 t \,dt = \int_1^0 (1-u^2)^3 u^2 (-du) = \int_0^1 (u^2 - 3u^4 + 3u^6 - u^8) \,du $$

$$ = \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{3u^5}{5} + \frac{3u^7}{7} - \frac{u^9}{9} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{5} + \frac{3}{7} - \frac{1}{9} = \frac{105 - 189 + 135 - 35}{315} = \frac{16}{315} $$

したがって、求める体積 $V$ は、

$$ V = 24\pi \times \frac{16}{315} = \frac{128\pi}{105} $$

解法2

線分 $\text{PQ}$ を含む直線群の包絡線（通過領域の境界）を求める別のアプローチを示す。 直線の方程式は、

$$ x\sin\theta + 8y\cos\theta - 8\sin\theta\cos\theta = 0 $$

である。左辺を $F(x, y, \theta)$ とおき、直線群の包絡線を求めるため、$\theta$ で偏微分した式 $F_{\theta}(x, y, \theta) = 0$ と連立する。

$$ F_{\theta}(x, y, \theta) = x\cos\theta - 8y\sin\theta - 8(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 0 $$

これら2式から $x, y$ を求める。第1式に $\cos\theta$、第2式に $\sin\theta$ をかけて引くと、

$$ 8y(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 8\sin\theta\cos^2\theta - 8\sin\theta(\cos^2\theta - \sin^2\theta) $$

$$ 8y = 8\sin^3\theta \quad \iff \quad y = \sin^3\theta $$

同様に、第1式に $\sin\theta$、第2式に $\cos\theta$ をかけて足すと、

$$ x(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 8\sin^2\theta\cos\theta + 8\cos\theta(\cos^2\theta - \sin^2\theta) $$

$$ x = 8\cos^3\theta $$

これにより、包絡線のパラメータ表示は $(x, y) = (8\cos^3\theta, \sin^3\theta)$ となる。これが領域 $D$ の境界をなす。 この曲線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた部分の回転体の体積 $V$ は、パラメータ $\theta$ を用いて次のように積分できる。

$$ V = \pi \int_{x=0}^{x=8} y^2 \,dx $$

$x = 8\cos^3\theta$、$dx = -24\cos^2\theta\sin\theta \,d\theta$ であり、積分区間は $\theta$ が $\frac{\pi}{2}$ から $0$ に対応するため、

$$ V = \pi \int_{\frac{\pi}{2}}^0 (\sin^3\theta)^2 (-24\cos^2\theta\sin\theta) \,d\theta = 24\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7\theta \cos^2\theta \,d\theta $$

これ以降の積分計算は解法1と全く同じであり、結果として $V = \frac{128\pi}{105}$ を得る。

解説

線分の通過領域を求める典型問題である。平面図形の通過領域を求める際、図形全体を動かして視覚的に把握しようとすると境界線を見失いやすいため、「ある1文字（今回は $x$）を固定し、他の変数を動かして最大・最小を調べる」というファクシミリの原理（線分走査法）を用いるのが最も確実である。

本問の境界線はアステロイド曲線 $\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{2}{3}} + \left(\frac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}} = 1$ の一部となる。定長の線分が両端を座標軸上につけてスライドするとき、その通過領域の境界がアステロイドになることは有名な事実である。この背景知識があれば、置換積分の際に $x = 8\cos^3 t$ とおく発想が自然に出てきやすい。 積分計算においては、ウォリスの公式（$\sin^m t \cos^n t$ の定積分）に帰着させるか、$u = \cos t$ などの置換によって多項式の積分に持ち込む処理が求められる。

答え

$$ V = \frac{128\pi}{105} $$