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大阪大学 2015年理系第4問解説

方針・初手

時刻 $t$ における2つの球 $A, B$ の中心座標と半径を把握し、空間座標内で立体 $(A \cup B) \cap C$ がどのような形状になるかを考える。空間図形の体積を求める定石通り、$x$ 軸に垂直な平面 $x=k$ による切断面を考える。

本問における最大のポイントは、球 $A, B$ の中心がともに $x$ 軸上にあることである。そのため、平面 $x=k$ による切り口は同心円（中心は共に $(k, 0, 0)$）となる。同心円の和集合は単純に「半径が大きい方の円」となるため、各範囲における $A, B$ の断面の半径の大小関係を比較すれば、複雑な立体も一つの関数の定積分として容易に求積できる。

解法1

(1)

時刻 $t$ ($0 \leqq t \leqq 1$) において、点 $P$ の座標は $(t, 0, 0)$、点 $Q$ の座標は $(-t, 0, 0)$ である。したがって、球 $A, B$ を表す不等式はそれぞれ以下のようになる。

球 $A$: $(x-t)^2 + y^2 + z^2 \leqq 1$ 球 $B$: $(x+t)^2 + y^2 + z^2 \leqq 1$

立体 $(A \cup B) \cap C$ を $x$ 軸に垂直な平面 $x=k$ で切断したときの断面について考える。領域 $C$ は $x \geqq -1$ であるから、$k \geqq -1$ の範囲で考えればよい。平面 $x=k$ における球 $A, B$ の断面は、それぞれ以下のようになる。

断面 $A_k$: $y^2 + z^2 \leqq 1 - (k-t)^2$ 断面 $B_k$: $y^2 + z^2 \leqq 1 - (k+t)^2$

これらはともに平面 $x=k$ 上の点 $(k, 0, 0)$ を中心とする円である。したがって、それらの和集合である $A_k \cup B_k$ は、中心を同じくする2つの円のうち、包含関係により大きい方の円となる。それぞれの半径の2乗の差をとると、

$$ \{1 - (k-t)^2\} - \{1 - (k+t)^2\} = (k+t)^2 - (k-t)^2 = 4kt $$

となる。$t \geqq 0$ であるから、 $k \geqq 0$ のときは $A_k$ が $B_k$ を包含し、和集合の断面積は $A_k$ の面積となる。 $k \leqq 0$ のときは $B_k$ が $A_k$ を包含し、和集合の断面積は $B_k$ の面積となる。

また、各断面が存在する $k$ の範囲は以下の通りである。 $A_k$ が存在する範囲: $1 - (k-t)^2 \geqq 0 \iff t-1 \leqq k \leqq t+1$ $B_k$ が存在する範囲: $1 - (k+t)^2 \geqq 0 \iff -t-1 \leqq k \leqq 1-t$

ここで、$0 \leqq t \leqq 1$ より $-t-1 \leqq -1$ および $0 \leqq 1-t$ が成り立つ。よって、立体が領域 $C$ に含まれる $k \geqq -1$ において、平面 $x=k$ で切断したときの断面積 $S(k)$ は、次のように表される。

$-1 \leqq k \leqq 0$ のとき、

$$ S(k) = \pi \{1 - (k+t)^2\} $$

$0 \leqq k \leqq t+1$ のとき、

$$ S(k) = \pi \{1 - (k-t)^2\} $$

以上より、求める体積 $V(t)$ は、これらを積分して求められる。

$$ \begin{aligned} V(t) &= \int_{-1}^{0} \pi \{1 - (k+t)^2\} dk + \int_{0}^{t+1} \pi \{1 - (k-t)^2\} dk \\ &= \pi \left[ k - \frac{(k+t)^3}{3} \right]_{-1}^{0} + \pi \left[ k - \frac{(k-t)^3}{3} \right]_{0}^{t+1} \\ &= \pi \left\{ \left( 0 - \frac{t^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(t-1)^3}{3} \right) \right\} + \pi \left\{ \left( t+1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - \frac{(-t)^3}{3} \right) \right\} \\ &= \pi \left\{ -\frac{t^3}{3} + 1 + \frac{t^3 - 3t^2 + 3t - 1}{3} \right\} + \pi \left\{ t + \frac{2}{3} - \frac{t^3}{3} \right\} \\ &= \pi \left( -t^2 + t + \frac{2}{3} \right) + \pi \left( -\frac{t^3}{3} + t + \frac{2}{3} \right) \\ &= \pi \left( -\frac{1}{3}t^3 - t^2 + 2t + \frac{4}{3} \right) \end{aligned} $$

(2)

(1) の結果より、

$$ V'(t) = \pi (-t^2 - 2t + 2) = -\pi (t^2 + 2t - 2) $$

$V'(t) = 0$ とすると、$t = -1 \pm \sqrt{3}$ となる。 $0 \leqq t \leqq 1$ における増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\sqrt{3}-1$	$\cdots$	$1$
$V'(t)$		$+$	$0$	$-$
$V(t)$	$\frac{4}{3}\pi$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$2\pi$

したがって、$V(t)$ は $t = \sqrt{3}-1$ のとき最大値をとる。 $t^2 + 2t - 2 = 0$ であることを利用して代入する式の次数を下げる。

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{3}t^3 - t^2 + 2t + \frac{4}{3} &= \frac{1}{3} (-t^3 - 3t^2 + 6t + 4) \\ &= \frac{1}{3} \{ (-t-1)(t^2 + 2t - 2) + 6t + 2 \} \end{aligned} $$

$t = \sqrt{3}-1$ のとき $t^2 + 2t - 2 = 0$ となるため、最大値は、

$$ V(\sqrt{3}-1) = \frac{\pi}{3} \{ 6(\sqrt{3}-1) + 2 \} = \frac{6\sqrt{3}-4}{3}\pi $$

解法2

(1)の別解

集合の要素の個数と同様に、体積についても和集合の公式を用いて計算する。

$$ V(t) = \text{Vol}((A \cup B) \cap C) = \text{Vol}(A \cap C) + \text{Vol}(B \cap C) - \text{Vol}(A \cap B \cap C) $$

各項の体積をそれぞれ求める。

ア $A \cap C$ について球 $A$ は中心 $(t, 0, 0)$、半径 $1$ である。その存在する $x$ 座標の範囲は $t-1 \leqq x \leqq t+1$ である。 $t \geqq 0$ より $t-1 \geqq -1$ であるため、球 $A$ 全体が領域 $C$ ($x \geqq -1$) に含まれる。したがって、$\text{Vol}(A \cap C)$ は球 $A$ の体積に等しい。

$$ \text{Vol}(A \cap C) = \frac{4}{3}\pi $$

イ $B \cap C$ について球 $B$ は中心 $(-t, 0, 0)$、半径 $1$ である。その存在する $x$ 座標の範囲は $-t-1 \leqq x \leqq 1-t$ である。領域 $C$ との共通部分は $-1 \leqq x \leqq 1-t$ の範囲となる。これを $x$ 軸方向に積分して体積を求める。

$$ \begin{aligned} \text{Vol}(B \cap C) &= \int_{-1}^{1-t} \pi \{1 - (x+t)^2\} dx \\ &= \pi \left[ x - \frac{(x+t)^3}{3} \right]_{-1}^{1-t} \\ &= \pi \left\{ \left( 1-t - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(t-1)^3}{3} \right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{t^3}{3} - t^2 + \frac{4}{3} \right) \end{aligned} $$

ウ $A \cap B \cap C$ について球 $A, B$ の共通部分 $A \cap B$ の存在する $x$ 座標の範囲は、各々の範囲の共通部分である $t-1 \leqq x \leqq 1-t$ となる（$t \leqq 1$ より $t-1 \leqq 1-t$ は成り立つ）。 $t \geqq 0$ より $t-1 \geqq -1$ となるため、$A \cap B$ も全体が領域 $C$ に含まれる。したがって、$\text{Vol}(A \cap B \cap C) = \text{Vol}(A \cap B)$ である。 $A \cap B$ は平面 $x=0$ に関して対称であり、右半分（$x \geqq 0$）は球 $B$ の式によって制限される領域となる。

$$ \begin{aligned} \text{Vol}(A \cap B) &= 2 \int_{0}^{1-t} \pi \{1 - (x+t)^2\} dx \\ &= 2\pi \left[ x - \frac{(x+t)^3}{3} \right]_{0}^{1-t} \\ &= 2\pi \left\{ \left( 1-t - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - \frac{t^3}{3} \right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{2}{3}t^3 - 2t + \frac{4}{3} \right) \end{aligned} $$

エ体積の算出ア、イ、ウの結果を用いて $V(t)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} V(t) &= \frac{4}{3}\pi + \pi \left( \frac{t^3}{3} - t^2 + \frac{4}{3} \right) - \pi \left( \frac{2}{3}t^3 - 2t + \frac{4}{3} \right) \\ &= \pi \left( -\frac{1}{3}t^3 - t^2 + 2t + \frac{4}{3} \right) \end{aligned} $$

解法1と同じ結果が得られる。

解説

2つの球が絡む空間図形の求積問題である。基本的なアプローチとして、解法1のように座標軸に垂直な平面で切断し、断面積を積分する方法と、解法2のように包除原理を用いて複数の図形の体積の足し引きに帰着させる方法がある。

本問は「2つの球の中心が同じ直線上にある」という強い対称性を持っている。そのため、解法1のように $x$ 軸に垂直な平面で切断すると、2つの円が完全に同心円となる。同心円であれば、和集合の面積は単に大きい方の円の面積となるため、計算が非常に簡単になる。空間図形では「どの平面で切ると断面が最も扱いやすいか」を見極めることが重要である。

また、解法2のように包除原理を使う場合も、各球やその共通部分が $x \geqq -1$ という条件（領域 $C$）に対してどのように配置されているか（包含関係）を、中心の座標と半径から丁寧に追う必要がある。