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大阪大学 2023年理系第1問解説

方針・初手

(1) は、不等式の中辺に含まれるシグマの部分が等比数列の和になっていることに着目して式を整理する。その後、左辺・右辺との差をとって不等式を証明する。 (2) は、(1) の証明過程で現れる式を $0$ から $1$ まで定積分することで、$a_n$ と $\log 2$ の関係式（積分表示）を導く。最終的には (1) の不等式を積分し、はさみうちの原理を用いて極限を計算する。

解法1

(1)

中辺の中括弧の中にある式を変形する。

$$ 1 + \sum_{k=2}^n (-x)^{k-1} = \sum_{k=1}^n (-x)^{k-1} $$

これは初項 $1$、公比 $-x$、項数 $n$ の等比数列の和である。$0 \leqq x \leqq 1$ より $-x \neq 1$ であるから、和の公式を用いて計算すると、

$$ \sum_{k=1}^n (-x)^{k-1} = \frac{1 - (-x)^n}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^n}{x+1} $$

となる。これを用いて中辺を変形すると、

$$ \begin{aligned} (-1)^n \left\{ \frac{1}{x+1} - 1 - \sum_{k=2}^n (-x)^{k-1} \right\} &= (-1)^n \left\{ \frac{1}{x+1} - \sum_{k=1}^n (-x)^{k-1} \right\} \\ &= (-1)^n \left\{ \frac{1}{x+1} - \frac{1 - (-x)^n}{x+1} \right\} \\ &= (-1)^n \frac{(-x)^n}{x+1} \\ &= \frac{(-1)^n \cdot (-1)^n \cdot x^n}{x+1} \\ &= \frac{x^n}{x+1} \end{aligned} $$

となる。したがって、示すべき不等式は以下のようになる。

$$ \frac{1}{2}x^n \leqq \frac{x^n}{x+1} \leqq x^n - \frac{1}{2}x^{n+1} $$

まず、左側の不等式について、（中辺）$-$（左辺）を計算する。

$$ \frac{x^n}{x+1} - \frac{1}{2}x^n = x^n \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \right) = x^n \frac{2 - (x+1)}{2(x+1)} = \frac{x^n(1-x)}{2(x+1)} $$

$0 \leqq x \leqq 1$ において、$x^n \geqq 0$、$1-x \geqq 0$、$2(x+1) > 0$ であるから、この式は $0$ 以上となる。よって、$\frac{1}{2}x^n \leqq \frac{x^n}{x+1}$ が成り立つ。

次に、右側の不等式について、（右辺）$-$（中辺）を計算する。

$$ \begin{aligned} \left( x^n - \frac{1}{2}x^{n+1} \right) - \frac{x^n}{x+1} &= x^n \left( 1 - \frac{x}{2} - \frac{1}{x+1} \right) \\ &= x^n \frac{(2-x)(x+1) - 2}{2(x+1)} \\ &= x^n \frac{2 + x - x^2 - 2}{2(x+1)} \\ &= \frac{x^{n+1}(1-x)}{2(x+1)} \end{aligned} $$

$0 \leqq x \leqq 1$ において、$x^{n+1} \geqq 0$、$1-x \geqq 0$、$2(x+1) > 0$ であるから、この式も $0$ 以上となる。よって、$\frac{x^n}{x+1} \leqq x^n - \frac{1}{2}x^{n+1}$ が成り立つ。

以上より、$0 \leqq x \leqq 1$ のとき、与えられた不等式が成り立つことが示された。

(2)

(1)の変形過程より、以下の等式が成り立つ。

$$ \frac{1}{x+1} - \sum_{k=1}^n (-x)^{k-1} = \frac{(-x)^n}{x+1} $$

この両辺を $x$ について $0$ から $1$ まで定積分する。

$$ \int_0^1 \frac{1}{x+1} dx - \int_0^1 \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} x^{k-1} dx = \int_0^1 \frac{(-1)^n x^n}{x+1} dx $$

ここで、各積分を計算すると、

$$ \int_0^1 \frac{1}{x+1} dx = \Big[ \log(x+1) \Big]_0^1 = \log 2 $$

$$ \int_0^1 \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} x^{k-1} dx = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \int_0^1 x^{k-1} dx = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \left[ \frac{x^k}{k} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k} = a_n $$

となるため、

$$ \log 2 - a_n = (-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx $$

すなわち、

$$ a_n - \log 2 = -(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx $$

が得られる。これを用いて、求める極限の式を変形する。

$$ \begin{aligned} (-1)^n n (a_n - \log 2) &= (-1)^n n \left( -(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \right) \\ &= -n (-1)^{2n} \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \\ &= -n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \end{aligned} $$

次に、(1)で示した不等式 $\frac{1}{2}x^n \leqq \frac{x^n}{x+1} \leqq x^n - \frac{1}{2}x^{n+1}$ の各辺を $0$ から $1$ まで定積分する。

$$ \int_0^1 \frac{1}{2}x^n dx \leqq \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \leqq \int_0^1 \left( x^n - \frac{1}{2}x^{n+1} \right) dx $$

左辺と右辺の積分を計算する。

$$ (\text{左辺}) = \left[ \frac{1}{2(n+1)}x^{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{2(n+1)} $$

$$ (\text{右辺}) = \left[ \frac{1}{n+1}x^{n+1} - \frac{1}{2(n+2)}x^{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(n+2)} $$

したがって、

$$ \frac{1}{2(n+1)} \leqq \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \leqq \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(n+2)} $$

が成り立つ。各辺に $-n$ を掛けると、不等号の向きが反転することに注意して、

$$ -n \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2(n+2)} \right) \leqq -n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \leqq -\frac{n}{2(n+1)} $$

ここで、$n \to \infty$ のときの左辺と右辺の極限を求める。

$$ (\text{左辺の極限}) = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{n}{n+1} + \frac{n}{2(n+2)} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{2(1 + \frac{2}{n})} \right) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} $$

$$ (\text{右辺の極限}) = \lim_{n \to \infty} -\frac{n}{2(n+1)} = \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{2(1 + \frac{1}{n})} = -\frac{1}{2} $$

両端の極限値が一致するため、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \left( -n \int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx \right) = -\frac{1}{2} $$

となる。

解説

いわゆる交代調和級数 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ が $\log 2$ に収束することを題材にした、難関大で頻出のテーマである。 (1) の不等式は、部分和 $a_n$ と極限値 $\log 2$ の誤差にあたる積分 $\int_0^1 \frac{x^n}{x+1} dx$ を評価するためのものである。さらに (2) では単に極限を求めるだけでなく、$n$ をかけた式の極限を問うことで、誤差が減少していく「速さ（オーダー）」が $\frac{1}{n}$ に比例することを詳細に評価させる。不等式の右側が単なる $x^n$ ではなく、$-\frac{1}{2}x^{n+1}$ が付いているのは、極限計算ではさみうちを成立させるための巧妙な調整である。