トップ› 北海道大学› 1991年› 理系第4問

北海道大学 1991年理系第4問解説

方針・初手

(1) は与えられた極限の式を区分求積法の形に帰着させることを目指す。シグマ記号の中に $\log$ があり、全体の係数に $\frac{1}{n}$ があることから、和の形 $\frac{1}{n} \sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ を作り出すことを考える。

(2) は $n$ が含まれる累乗の極限であり、そのままでは計算が困難である。このような場合は自然対数をとることで和の極限（すなわち区分求積法）に帰着させるのが定石である。式の形から (1) の結果が直接利用できることを見越して式変形を行う。

解法1

(1)

与えられた式の波括弧の中を変形する。シグマの項数は $(2n) - (n+1) + 1 = n$ 個であるから、$n \log n = \sum_{k=n+1}^{2n} \log n$ と表すことができる。これを用いると、

$$ \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - n \log n = \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - \sum_{k=n+1}^{2n} \log n $$

対数の性質 $\log A - \log B = \log \frac{A}{B}$ を用いて一つのシグマにまとめると、

$$ \sum_{k=n+1}^{2n} (\log k - \log n) = \sum_{k=n+1}^{2n} \log \frac{k}{n} $$

と変形できる。これを左辺の極限の式に代入すると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left\{ \sum_{k=n+1}^{2n} \log k - n \log n \right\} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2n} \log \frac{k}{n} $$

ここで、区分求積法の公式 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{1}^{2} f(x) dx$ を $f(x) = \log x$ に対して用いると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2n} \log \frac{k}{n} = \int_{1}^{2} \log x dx $$

となり、与式が成り立つことが示された。

(2)

求める極限の式において、括弧の中身を $A_n$ とおく。

$$ A_n = \left( \frac{(2n)!}{n! n^n} \right)^{\frac{1}{n}} $$

$n$ は自然数であり、$A_n > 0$ であるから、両辺の自然対数をとる。

$$ \log A_n = \log \left( \frac{(2n)!}{n! n^n} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \log \frac{(2n)!}{n! n^n} $$

真数部分について、階乗の定義から次のように展開できる。

$$ \frac{(2n)!}{n!} = \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot \cdots \cdot (n+1) \cdot n!}{n!} = 2n \cdot (2n-1) \cdot \cdots \cdot (n+1) $$

これは $n$ 個の整数の積である。分母の $n^n$ も $n$ が $n$ 個掛け合わされているため、それぞれの項を $n$ で割る形にまとめることができる。

$$ \frac{(2n)!}{n! n^n} = \frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+2}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n+n}{n} = \prod_{k=n+1}^{2n} \frac{k}{n} $$

したがって、対数の性質 $\log(X_1 X_2 \cdots X_n) = \log X_1 + \log X_2 + \cdots + \log X_n$ を用いると、$\log A_n$ は次のように表される。

$$ \log A_n = \frac{1}{n} \log \left( \prod_{k=n+1}^{2n} \frac{k}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2n} \log \frac{k}{n} $$

ここで $n \to \infty$ とすると、(1) の結果より

$$ \lim_{n \to \infty} \log A_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{2n} \log \frac{k}{n} = \int_{1}^{2} \log x dx $$

となる。右辺の定積分を部分積分法を用いて計算する。

$$ \int_{1}^{2} \log x dx = \left[ x \log x - x \right]_{1}^{2} = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) $$

$\log 1 = 0$ であるから、

$$ (2 \log 2 - 2) - (0 - 1) = 2 \log 2 - 1 $$

よって、$\lim_{n \to \infty} \log A_n = 2 \log 2 - 1$ である。右辺を対数でまとめると、

$$ 2 \log 2 - 1 = \log 2^2 - \log e = \log \frac{4}{e} $$

対数関数 $y = \log x$ は連続関数であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} e^{\log A_n} = e^{\log \frac{4}{e}} = \frac{4}{e} $$

となる。

解説

階乗を含む累乗の極限、特に全体に $n$ 乗根（$\frac{1}{n}$ 乗）がついた形の極限では、「自然対数をとって区分求積法に帰着させる」という解法が典型である。

(1) はそのための誘導であり、$n \log n$ をシグマの中に組み込む操作がポイントになる。$\sum_{k=n+1}^{2n} 1 = n$ であることに気づけば、$n \log n = \sum_{k=n+1}^{2n} \log n$ と変形して、全体を $\sum (\log k - \log n) = \sum \log \frac{k}{n}$ の形にすっきりとまとめることができる。なお、区分求積法の区間について、和の範囲が $k=n+1$ から $k=2n$ であるため、積分区間が $[0, 1]$ ではなく $[1, 2]$ になることに注意が必要である（$k=1$ から $n$ の和と考えて積分区間を $[0, 1]$ とし、被積分関数を $\log(1+x)$ とする考え方も正しい）。

(2) は積の形になっている真数に対して対数をとることで和の形（シグマ）に変換し、(1) の結果をそのまま利用する。定積分 $\int \log x dx = x \log x - x + C$ は頻出であるため、結果をすぐに引き出せるようにしておきたい。最後に $\log A_n$ の極限値から $A_n$ の極限値へ戻す操作（$e$ の肩に乗せる）を忘れないようにする。