大阪大学 2024年 理系 第4問 解説

方針・初手

円 $C$ の方程式 $(x-a)^2 + y^2 = 1$ を $x$ について解き、回転体の体積を求める定積分を立式する。 $a>1$ という条件により、円 $C$ は全体が $y$ 軸の右側（$x>0$）にあるため、素直に円盤法による体積計算の公式 $V = \pi \int x^2 dy$ を適用できる。 (2) の $V_2$ については、円 $C$ 全体の回転体（トーラス）の体積を求めることになる。右半円の回転体から左半円の回転体を引くことで計算する。得られた方程式は解の公式を用いて解き、$a>1$ の条件を満たすかを関数値の符号や軸の位置から判定する。

解法1

(1)

円 $C$ の方程式は $(x-a)^2 + y^2 = 1$ である。 これを $x$ について解くと、

$$ x = a \pm \sqrt{1-y^2} \quad (-1 \leqq y \leqq 1) $$

円 $C$ の $x \geqq a$ の部分は、

$$ x = a + \sqrt{1-y^2} $$

となる。$a>1$ より、$a + \sqrt{1-y^2} > 0$ である。 求める体積 $V_1$ は、この曲線と $y$ 軸、直線 $y=1$、$y=-1$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積であるから、

$$ V_1 = \pi \int_{-1}^{1} x^2 \, dy = \pi \int_{-1}^{1} \left( a + \sqrt{1-y^2} \right)^2 dy $$

被積分関数は $y$ に関する偶関数であるから、

$$ \begin{aligned} V_1 &= 2\pi \int_{0}^{1} \left( a^2 + 2a\sqrt{1-y^2} + 1 - y^2 \right) dy \\ &= 2\pi \left\{ \int_{0}^{1} (a^2 + 1 - y^2) dy + 2a \int_{0}^{1} \sqrt{1-y^2} dy \right\} \end{aligned} $$

ここで、第1項の積分は、

$$ \int_{0}^{1} (a^2 + 1 - y^2) dy = \left[ (a^2 + 1)y - \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = a^2 + \frac{2}{3} $$

また、第2項の定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-y^2} dy$ は、半径 $1$ の円の面積の $\frac{1}{4}$ であるから、

$$ \int_{0}^{1} \sqrt{1-y^2} dy = \frac{\pi}{4} $$

これらを代入して、

$$ \begin{aligned} V_1 &= 2\pi \left( a^2 + \frac{2}{3} + 2a \cdot \frac{\pi}{4} \right) \\ &= 2\pi \left( a^2 + \frac{\pi}{2}a + \frac{2}{3} \right) \\ &= 2\pi a^2 + \pi^2 a + \frac{4}{3}\pi \end{aligned} $$

(2)

円 $C$ は $a>1$ より $y$ 軸と交わらない。 円 $C$ の $x \leqq a$ の部分は $x = a - \sqrt{1-y^2}$ である。 円 $C$ 全体の回転体の体積 $V_2$ は、右半円 $x = a + \sqrt{1-y^2}$ による回転体の体積から、左半円 $x = a - \sqrt{1-y^2}$ による回転体の体積を引いたものであるから、

$$ \begin{aligned} V_2 &= \pi \int_{-1}^{1} \left( a + \sqrt{1-y^2} \right)^2 dy - \pi \int_{-1}^{1} \left( a - \sqrt{1-y^2} \right)^2 dy \\ &= \pi \int_{-1}^{1} 4a\sqrt{1-y^2} dy \end{aligned} $$

被積分関数は偶関数であるから、

$$ \begin{aligned} V_2 &= 8\pi a \int_{0}^{1} \sqrt{1-y^2} dy \\ &= 8\pi a \cdot \frac{\pi}{4} \\ &= 2\pi^2 a \end{aligned} $$

条件 $V_1 = 2V_2$ より、

$$ 2\pi a^2 + \pi^2 a + \frac{4}{3}\pi = 2(2\pi^2 a) $$

$$ 2\pi a^2 - 3\pi^2 a + \frac{4}{3}\pi = 0 $$

両辺を $\pi$ で割ると、

$$ 2a^2 - 3\pi a + \frac{4}{3} = 0 $$

これを $a$ について解くと、

$$ a = \frac{3\pi \pm \sqrt{9\pi^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{4}{3}}}{4} = \frac{9\pi \pm \sqrt{81\pi^2 - 96}}{12} $$

ここで、$f(a) = 2a^2 - 3\pi a + \frac{4}{3}$ とおく。 放物線 $y = f(a)$ は下に凸であり、軸の方程式は $a = \frac{3\pi}{4}$ である。$\pi > 3$ より $\frac{3\pi}{4} > \frac{9}{4} > 1$ となるため、軸は $a>1$ の範囲にある。 また、$a=1$ のときの関数値を調べると、

$$ f(1) = 2 - 3\pi + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} - 3\pi $$

$\pi > 3.14$ より $3\pi > 9$ であるから、$\frac{10}{3} - 3\pi < 0$ となり、$f(1) < 0$ が成り立つ。 したがって、2次方程式 $f(a) = 0$ は $a < 1$ と $a > 1$ の範囲にそれぞれ1つずつ解をもつ。 ゆえに、条件 $a > 1$ を満たすものは大きい方の解である。

$$ a = \frac{9\pi + \sqrt{81\pi^2 - 96}}{12} $$

解説

回転体の体積計算の典型問題である。 被積分関数に現れる $\sqrt{1-y^2}$ の定積分は、置換積分を行わなくても円の面積の一部として図形的に処理することで計算量を減らすことができる。 (2) の $V_2$ は円を回転させてできるトーラスの体積であり、穴埋めや検算目的であればパップス・ギュルダンの定理（$V = (\text{円の面積}) \times (\text{重心の移動距離}) = \pi \cdot 1^2 \cdot 2\pi a = 2\pi^2 a$）を用いて素早く結果を導くことも可能である。ただし、記述式の解答では上記のように積分計算で過程を明示する方が無難である。 また、最後に得られた $a$ の解のうち、どちらが $a>1$ を満たすかを正確に判定する論理が求められる。無理数の大小評価を直接行うよりも、2次関数のグラフの性質（軸の位置と端点での符号）を利用した方が簡明で確実である。

答え

(1)

$$ V_1 = 2\pi a^2 + \pi^2 a + \frac{4}{3}\pi $$

(2)

$$ a = \frac{9\pi + \sqrt{81\pi^2 - 96}}{12} $$