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大阪大学 2007年理系第1問解説

方針・初手

曲線 $C$ と直線 $l$ の上下関係を把握し、回転体の体積 $V$ を $n$ を用いた式で表す。直線 $l$ による回転体は円錐台となるため、その体積公式を用いるか、積分計算を工夫することで計算量を減らすことができる。体積 $V$ が求まった後は、極限の不定形を解消するために分子の有理化を行い、極限値が正の数に収束するための $a$ の条件を決定する。

解法1

関数 $y = \sqrt{x}$ において、$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$、$y'' = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$ である。 $x > 0$ において $y'' < 0$ であるから、曲線 $C$ は上に凸である。したがって、区間 $n \le x \le n+1$ において、線分 $l$ は曲線 $C$ の下側（または境界上）にある。

曲線 $C$ と $x$ 軸、および2直線 $x=n, x=n+1$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $V_1$ とすると、

$$ V_1 = \pi \int_{n}^{n+1} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{n}^{n+1} x dx = \pi \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_n^{n+1} $$

$$ V_1 = \frac{\pi}{2} \{ (n+1)^2 - n^2 \} = \frac{\pi}{2} (2n+1) $$

また、直線 $l$ と $x$ 軸、および2直線 $x=n, x=n+1$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $V_2$ とする。この立体は、底面の半径が $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$、高さが $1$ の円錐台であるから、

$$ V_2 = \frac{\pi \cdot 1}{3} \left\{ (\sqrt{n})^2 + \sqrt{n}\sqrt{n+1} + (\sqrt{n+1})^2 \right\} = \frac{\pi}{3} (2n+1+\sqrt{n^2+n}) $$

求める回転体の体積 $V$ は $V = V_1 - V_2$ であるから、

$$ V = \frac{\pi}{2} (2n+1) - \frac{\pi}{3} (2n+1+\sqrt{n^2+n}) $$

$$ V = \frac{\pi}{6} \left\{ 3(2n+1) - 2(2n+1+\sqrt{n^2+n}) \right\} = \frac{\pi}{6} (2n+1-2\sqrt{n^2+n}) $$

次に、$n^a V$ を計算し、極限を考える。分子の有理化を行うと、

$$ V = \frac{\pi}{6} \frac{(2n+1)^2 - (2\sqrt{n^2+n})^2}{2n+1+2\sqrt{n^2+n}} = \frac{\pi}{6} \frac{4n^2+4n+1 - 4(n^2+n)}{2n+1+2\sqrt{n^2+n}} = \frac{\pi}{6} \frac{1}{2n+1+2\sqrt{n^2+n}} $$

分母から $n$ をくくり出すと、

$$ V = \frac{\pi}{6n} \frac{1}{2 + \frac{1}{n} + 2\sqrt{1+\frac{1}{n}}} $$

これより、

$$ n^a V = \frac{\pi}{6} n^{a-1} \frac{1}{2 + \frac{1}{n} + 2\sqrt{1+\frac{1}{n}}} $$

$n \to \infty$ のとき、

$$ \frac{1}{2 + \frac{1}{n} + 2\sqrt{1+\frac{1}{n}}} \to \frac{1}{2 + 0 + 2\sqrt{1+0}} = \frac{1}{4} $$

したがって、$\lim_{n \to \infty} n^a V = b$ （$b$ は正の数）となるためには、$\lim_{n \to \infty} n^{a-1}$ が有限な正の定数に収束しなければならない。ゆえに、$a-1=0$ すなわち $a=1$ である。

このとき、極限値 $b$ は、

$$ b = \lim_{n \to \infty} n^1 V = \frac{\pi}{6} \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{24} $$

解法2

直線 $l$ の方程式による回転体の体積 $V_2$ を、積分計算により直接求める方法を示す。

直線 $l$ は2点 $(n, \sqrt{n})$ と $(n+1, \sqrt{n+1})$ を通るので、その方程式を $y = px+q$ とおく。ここで、傾きは $p = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ である。

$$ V_2 = \pi \int_{n}^{n+1} (px+q)^2 dx = \pi \left[ \frac{(px+q)^3}{3p} \right]_n^{n+1} $$

$x=n+1$ のとき $y = \sqrt{n+1}$、$x=n$ のとき $y = \sqrt{n}$ であるから、

$$ V_2 = \frac{\pi}{3p} \left\{ (\sqrt{n+1})^3 - (\sqrt{n})^3 \right\} $$

$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ の因数分解公式を用いると、

$$ V_2 = \frac{\pi (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{3(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} \left\{ (n+1) + \sqrt{n+1}\sqrt{n} + n \right\} = \frac{\pi}{3} (2n+1+\sqrt{n^2+n}) $$

以下、体積 $V$ の算出および極限の計算は解法1と同様である。

解説

回転体の体積計算と、数列の極限を組み合わせた典型的な問題である。

体積の計算では、$V_2$ の導出が鍵となる。解法1のように「直線の回転体＝円錐台」と捉えて幾何的に公式を適用するのが最も手早い。解法2のように積分をそのまま実行する場合は、$(px+q)^2$ を展開すると計算が著しく煩雑になるため、合成関数の積分と $A^3-B^3$ の因数分解を組み合わせて処理する工夫が必要である。

極限計算においては、$\infty - \infty$ 型の不定形が現れるため、無理式の「分子の有理化」を行うのが鉄則である。有理化後に分母の最高次の項（この場合は $n$）でくくり出すことで、$a$ の値を容易に決定することができる。