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大阪大学 2025年理系第4問解説

方針・初手

(1) は積分区間における被積分関数の絶対値を評価し、はさみうちの原理の準備をする。三角関数のとりうる値の範囲から不等式を作る。

(2) は直接積分することができないため、部分積分を用いて (1) の不等式が利用できる形に変形する。

(3) は三角関数の積和の公式を用いて被積分関数を和の形に直し、積分を分割する。その後、置換積分を用いて積分区間をそろえ、(2) の結果を利用する。

解法1

(1)

$t > 0$ のとき、積分区間 $t \leqq x \leqq 2t$ において、常に $-1 \leqq \sin x \leqq 1$ であり、$x^2 > 0$ であるから、各辺を $x^2$ で割ると以下の不等式が成り立つ。

$$ -\frac{1}{x^2} \leqq \frac{\sin x}{x^2} \leqq \frac{1}{x^2} $$

この不等式において、等号は常に成り立つわけではないので、区間 $[t, 2t]$ で積分すると狭義の不等号となり、

$$ \int_t^{2t} \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx < \int_t^{2t} \frac{\sin x}{x^2} dx < \int_t^{2t} \frac{1}{x^2} dx $$

が成り立つ。ここで、最右辺と最左辺の定積分を計算すると、

$$ \int_t^{2t} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_t^{2t} = -\frac{1}{2t} - \left(-\frac{1}{t}\right) = \frac{1}{2t} $$

$$ \int_t^{2t} \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = -\frac{1}{2t} $$

となる。したがって、

$$ -\frac{1}{2t} < \int_t^{2t} \frac{\sin x}{x^2} dx < \frac{1}{2t} $$

を得る。$t > 0$ であるから、$\frac{1}{2t} < \frac{1}{t}$ および $-\frac{1}{t} < -\frac{1}{2t}$ が成り立つため、

$$ -\frac{1}{t} < -\frac{1}{2t} < \int_t^{2t} \frac{\sin x}{x^2} dx < \frac{1}{2t} < \frac{1}{t} $$

となり、

$$ -\frac{1}{t} < \int_t^{2t} \frac{\sin x}{x^2} dx < \frac{1}{t} $$

が示された。

(2)

求める極限の定積分に対し、部分積分を行う。

$$ \begin{aligned} \int_t^{2t} \frac{\cos x}{x} dx &= \int_t^{2t} \frac{1}{x} (\sin x)' dx \\ &= \left[ \frac{\sin x}{x} \right]_t^{2t} - \int_t^{2t} \left(-\frac{1}{x^2}\right) \sin x dx \\ &= \frac{\sin 2t}{2t} - \frac{\sin t}{t} + \int_t^{2t} \frac{\sin x}{x^2} dx \end{aligned} $$

ここで、第1項と第2項について絶対値を評価すると、

$$ \left| \frac{\sin 2t}{2t} \right| \leqq \frac{1}{2t}, \quad \left| \frac{\sin t}{t} \right| \leqq \frac{1}{t} $$

であり、$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{2t} = 0$, $\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} = 0$ であるから、はさみうちの原理により

$$ \lim_{t \to \infty} \frac{\sin 2t}{2t} = 0, \quad \lim_{t \to \infty} \frac{\sin t}{t} = 0 $$

となる。また、第3項については、(1) で示した不等式

$$ -\frac{1}{t} < \int_t^{2t} \frac{\sin x}{x^2} dx < \frac{1}{t} $$

において、$\lim_{t \to \infty} \left(-\frac{1}{t}\right) = 0$ かつ $\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} = 0$ であるから、はさみうちの原理により

$$ \lim_{t \to \infty} \int_t^{2t} \frac{\sin x}{x^2} dx = 0 $$

となる。以上より、

$$ \begin{aligned} \lim_{t \to \infty} \int_t^{2t} \frac{\cos x}{x} dx &= \lim_{t \to \infty} \left( \frac{\sin 2t}{2t} - \frac{\sin t}{t} + \int_t^{2t} \frac{\sin x}{x^2} dx \right) \\ &= 0 - 0 + 0 = 0 \end{aligned} $$

が示された。

(3)

与えられた関数 $f(x)$ に三角関数の積和の公式を適用する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \sin\left(\frac{x}{2}\right) \\ &= -\frac{1}{2} \left\{ \cos\left(\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{3x}{2} - \frac{x}{2}\right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} (\cos x - \cos 2x) \end{aligned} $$

これを積分に代入すると、

$$ \begin{aligned} \int_1^t \frac{f(x)}{x} dx &= \frac{1}{2} \int_1^t \frac{\cos x - \cos 2x}{x} dx \\ &= \frac{1}{2} \int_1^t \frac{\cos x}{x} dx - \frac{1}{2} \int_1^t \frac{\cos 2x}{x} dx \end{aligned} $$

となる。ここで、第2項の積分について $2x = u$ と置換する。 $x$ と $u$ の対応は $x : 1 \to t$ のとき $u : 2 \to 2t$ であり、$dx = \frac{1}{2} du$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_1^t \frac{\cos 2x}{x} dx &= \int_2^{2t} \frac{\cos u}{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{2} du \\ &= \int_2^{2t} \frac{\cos u}{u} du \\ &= \int_2^{2t} \frac{\cos x}{x} dx \end{aligned} $$

となる。これを用いて元の式を変形すると、

$$ \int_1^t \frac{f(x)}{x} dx = \frac{1}{2} \left( \int_1^t \frac{\cos x}{x} dx - \int_2^{2t} \frac{\cos x}{x} dx \right) $$

となる。カッコ内の積分区間を分割して整理する。

$$ \begin{aligned} \int_1^t \frac{\cos x}{x} dx - \int_2^{2t} \frac{\cos x}{x} dx &= \left( \int_1^2 \frac{\cos x}{x} dx + \int_2^t \frac{\cos x}{x} dx \right) - \left( \int_2^t \frac{\cos x}{x} dx + \int_t^{2t} \frac{\cos x}{x} dx \right) \\ &= \int_1^2 \frac{\cos x}{x} dx - \int_t^{2t} \frac{\cos x}{x} dx \end{aligned} $$

したがって、

$$ \int_1^t \frac{f(x)}{x} dx = \frac{1}{2} \left( \int_1^2 \frac{\cos x}{x} dx - \int_t^{2t} \frac{\cos x}{x} dx \right) $$

を得る。ここで $t \to \infty$ の極限をとると、(2) の結果から $\lim_{t \to \infty} \int_t^{2t} \frac{\cos x}{x} dx = 0$ であるため、

$$ \begin{aligned} \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{f(x)}{x} dx &= \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \left( \int_1^2 \frac{\cos x}{x} dx - \int_t^{2t} \frac{\cos x}{x} dx \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \int_1^2 \frac{\cos x}{x} dx - 0 \right) \\ &= \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{\cos x}{x} dx \end{aligned} $$

となり、示された。

解説

極限と定積分が絡む典型的な誘導問題である。(1) は絶対値をとって不等式を作る基本操作である。(2) は、直接積分できない関数に対して部分積分を行うことで、次数を下げたり形を変えたりして極限を評価する常套手段である。(3) は、積和の公式で積分を分割し、置換積分によって同じ形の積分を作り出して相殺させる工夫が求められる。積分区間の分割を丁寧に行うことがポイントである。