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北海道大学 2025年理系第3問解説

方針・初手

(1) については、$e^{ax}\sin(nx)$ のような指数関数と三角関数の積の積分を求める典型的な問題である。部分積分を2回繰り返して元の積分と同じ形を作り出し、方程式として解く方針（解法1）か、積の微分法の逆算から直接原始関数を求める方針（解法2）が有効である。

(2) については、(1) で求めた結果に $a_n$ を代入し、極限を計算する。$e^{\log n} = n$ という対数の性質を用いて式を整理し、分母の最高次である $n^2$ で分子分母を割ることで、与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0$ を適用できる形を作る。

解法1

(1)

与えられた定積分に対し、部分積分法を2回用いる。

$$ I(a, n) = \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin(nx) dx = \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \left(-\frac{1}{n}\cos(nx)\right)' dx $$

$$ I(a, n) = \left[ e^{ax} \left(-\frac{1}{n}\cos(nx)\right) \right]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} a e^{ax} \left(-\frac{1}{n}\cos(nx)\right) dx $$

$$ I(a, n) = -\frac{1}{n} (e^{2\pi a} \cos(2\pi n) - e^0 \cos 0) + \frac{a}{n} \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \cos(nx) dx $$

$n$ は自然数であるから、$\cos(2\pi n) = 1$、$\cos 0 = 1$ である。よって、

$$ I(a, n) = \frac{1 - e^{2\pi a}}{n} + \frac{a}{n} \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \cos(nx) dx $$

右辺の積分に再度部分積分法を用いる。

$$ \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \cos(nx) dx = \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \left(\frac{1}{n}\sin(nx)\right)' dx $$

$$ = \left[ e^{ax} \frac{1}{n}\sin(nx) \right]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} a e^{ax} \frac{1}{n}\sin(nx) dx $$

$n$ は自然数であるから、$\sin(2\pi n) = 0$、$\sin 0 = 0$ である。

$$ = \frac{1}{n} (e^{2\pi a} \sin(2\pi n) - e^0 \sin 0) - \frac{a}{n} \int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin(nx) dx $$

$$ = -\frac{a}{n} I(a, n) $$

この結果を前の式に代入する。

$$ I(a, n) = \frac{1 - e^{2\pi a}}{n} + \frac{a}{n} \left( -\frac{a}{n} I(a, n) \right) $$

$$ I(a, n) = \frac{1 - e^{2\pi a}}{n} - \frac{a^2}{n^2} I(a, n) $$

$I(a, n)$ について整理する。

$$ \left( 1 + \frac{a^2}{n^2} \right) I(a, n) = \frac{1 - e^{2\pi a}}{n} $$

$$ \frac{a^2 + n^2}{n^2} I(a, n) = \frac{1 - e^{2\pi a}}{n} $$

実数 $a$ と自然数 $n$ について $a^2 + n^2 > 0$ であるから、両辺に $\frac{n^2}{a^2 + n^2}$ を掛ける。

$$ I(a, n) = \frac{n(1 - e^{2\pi a})}{a^2 + n^2} $$

(2)

(1) の結果に $a_n = \frac{\log n}{2\pi}$ を代入する。ここで、$e^{2\pi a_n}$ を計算すると、

$$ e^{2\pi a_n} = e^{2\pi \cdot \frac{\log n}{2\pi}} = e^{\log n} = n $$

となる。したがって、

$$ I(a_n, n) = \frac{n(1 - n)}{\left(\frac{\log n}{2\pi}\right)^2 + n^2} $$

分子と分母を $n^2$ で割る。

$$ I(a_n, n) = \frac{\frac{n - n^2}{n^2}}{\frac{(\log n)^2}{4\pi^2 n^2} + \frac{n^2}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n} - 1}{\frac{1}{4\pi^2} \left(\frac{\log n}{n}\right)^2 + 1} $$

$n \to \infty$ のとき、与えられた条件 $\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0$ を用いると、$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\log n}{n} \right)^2 = 0$ となる。また、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} I(a_n, n) = \frac{0 - 1}{\frac{1}{4\pi^2} \cdot 0 + 1} = -1 $$

解法2

(1)

微分の逆算を利用して原始関数を求める。関数の積の微分法より、以下が成り立つ。

$$ (e^{ax} \sin(nx))' = a e^{ax} \sin(nx) + n e^{ax} \cos(nx) $$

$$ (e^{ax} \cos(nx))' = a e^{ax} \cos(nx) - n e^{ax} \sin(nx) $$

右辺の $e^{ax} \cos(nx)$ を消去するため、第1式に $a$、第2式に $-n$ を掛けて辺々を加える。

$$ a (e^{ax} \sin(nx))' - n (e^{ax} \cos(nx))' = (a^2 + n^2) e^{ax} \sin(nx) $$

両辺を $x$ で $0$ から $2\pi$ まで積分する。

$$ \int_{0}^{2\pi} \{ a (e^{ax} \sin(nx))' - n (e^{ax} \cos(nx))' \} dx = \int_{0}^{2\pi} (a^2 + n^2) e^{ax} \sin(nx) dx $$

左辺は次のように計算できる。

$$ \left[ a e^{ax} \sin(nx) - n e^{ax} \cos(nx) \right]_{0}^{2\pi} $$

$n$ は自然数であるから、$\sin(2\pi n) = 0$、$\sin 0 = 0$、$\cos(2\pi n) = 1$、$\cos 0 = 1$ となる。

$$ = (0 - n e^{2\pi a} \cdot 1) - (0 - n e^0 \cdot 1) = n(1 - e^{2\pi a}) $$

右辺は $(a^2 + n^2) I(a, n)$ となるため、

$$ (a^2 + n^2) I(a, n) = n(1 - e^{2\pi a}) $$

$a^2 + n^2 > 0$ であるから、

$$ I(a, n) = \frac{n(1 - e^{2\pi a})}{a^2 + n^2} $$

(2) は解法1と同じであるため省略する。

解説

(1) の指数関数と三角関数の積の積分は、頻出の典型問題である。解法1のような部分積分を利用して同形を出現させる方法は王道であるが、解法2のような「微分の逆算」の知識を持っておくと、計算ミスを減らし手早く処理することができる。(2) については、$e^{\log n} = n$ という変換の基本と、極限計算において分母の最高次である $n^2$ で割ることで極限値 $0$ を作り出す定石が問われている。