東京工業大学 2004年 理系 第2問 解説

方針・初手

（1） は、周期関数の定積分の性質を示す問題である。被積分関数が周期 $\pi$ を持つことを示し、積分区間を分割して置換積分を用いる。 （2） は、与えられた積分の変数変換を行い、積分区間を広げたものと狭めたもので挟み込む。被積分関数が （1） の条件を満たすことに気づき、結果を利用することが鍵となる。 （3） は、（2） で得られた不等式にはさみうちの原理を適用する。定積分の計算は適切な置換積分を組み合わせて行う。

解法1

(1) $h(x) = f(\sin x)g(\cos x)$ とおく。 条件より、$f(x)$ と $g(x)$ は連続な偶関数であるから、$f(-x) = f(x)$、$g(-x) = g(x)$ が成り立つ。 これを用いると、

$$ \begin{aligned} h(x+\pi) &= f(\sin(x+\pi))g(\cos(x+\pi)) \\ &= f(-\sin x)g(-\cos x) \\ &= f(\sin x)g(\cos x) \\ &= h(x) \end{aligned} $$

となり、$h(x)$ は周期 $\pi$ を持つ関数である。 ここで、積分区間 $[0, m\pi]$ を $\pi$ ごとに分割すると、

$$ \int_0^{m\pi} h(x) dx = \sum_{k=0}^{m-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} h(x) dx $$

右辺の各積分において、$t = x - k\pi$ とおくと、$x = t + k\pi$、$dx = dt$ であり、積分区間は $x$ が $k\pi$ から $(k+1)\pi$ のとき、$t$ は $0$ から $\pi$ となる。

$$ \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} h(x) dx = \int_0^\pi h(t+k\pi) dt $$

$h(x)$ は周期 $\pi$ を持つため、$h(t+k\pi) = h(t)$ が成り立つ。したがって、

$$ \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} h(x) dx = \int_0^\pi h(t) dt $$

これを先ほどの式に代入すると、

$$ \int_0^{m\pi} h(x) dx = \sum_{k=0}^{m-1} \int_0^\pi h(x) dx = m \int_0^\pi h(x) dx $$

よって、

$$ \int_0^{m\pi} f(\sin x)g(\cos x)dx = m \int_0^\pi f(\sin x)g(\cos x)dx $$

が示された。

(2) 求める積分を $I_n$ とおく。

$$ I_n = \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2} dx $$

$nx = t$ とおくと、$n dx = dt$ であり、$x$ が $0$ から $1$ に変化するとき、$t$ は $0$ から $n$ に変化する。

$$ I_n = \frac{1}{n} \int_0^n \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt $$

ここで、被積分関数 $\frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2}$ を考える。 $f(t) = |t|$、$g(t) = \frac{1}{(1+t^2)^2}$ とすると、これらはともに連続な偶関数であるから、被積分関数は $f(\sin t)g(\cos t)$ の形をしている。 したがって、（1） の結果を適用することができる。

また、被積分関数は常に $0$ 以上であり、条件より $m\pi \le n < (m+1)\pi$ であるから、積分区間に関する大小関係より次の不等式が成り立つ。

$$ \int_0^{m\pi} \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt \le \int_0^n \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt \le \int_0^{(m+1)\pi} \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt $$

ここで、（1） の結果を用いると、

$$ \int_0^{m\pi} \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt = m \int_0^\pi \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt $$

$$ \int_0^{(m+1)\pi} \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt = (m+1) \int_0^\pi \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt $$

区間 $[0, \pi]$ において $\sin t \ge 0$ であるから、$|\sin t| = \sin t$ となる。 これらを不等式に代入すると、

$$ m \int_0^\pi \frac{\sin t}{(1+\cos^2 t)^2} dt \le \int_0^n \frac{|\sin t|}{(1+\cos^2 t)^2} dt \le (m+1) \int_0^\pi \frac{\sin t}{(1+\cos^2 t)^2} dt $$

辺々を $n$ で割ると、

$$ \frac{m}{n} \int_0^\pi \frac{\sin t}{(1+\cos^2 t)^2} dt \le I_n \le \frac{m+1}{n} \int_0^\pi \frac{\sin t}{(1+\cos^2 t)^2} dt $$

条件 $m\pi \le n < (m+1)\pi$ より、$n > 0$ であるから、

$$ \frac{1}{(m+1)\pi} < \frac{1}{n} \le \frac{1}{m\pi} $$

が成り立つ。定積分 $\int_0^\pi \frac{\sin t}{(1+\cos^2 t)^2} dt$ は正の値をとるため、各辺にこれを掛け合わせて係数を評価すると、

$$ \frac{m}{(m+1)\pi} \le \frac{m}{n} $$

$$ \frac{m+1}{n} \le \frac{m+1}{m\pi} $$

より、次の不等式が得られる。

$$ \frac{m}{(m+1)\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2} dx \le \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2} dx \le \frac{m+1}{m\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2} dx $$

これが示された。

(3) （2） で得られた不等式にはさみうちの原理を適用する。 まず、定積分 $J = \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2} dx$ の値を求める。 $u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ であり、$x$ が $0$ から $\pi$ に変化するとき、$u$ は $1$ から $-1$ に変化する。

$$ \begin{aligned} J &= \int_1^{-1} \frac{1}{(1+u^2)^2} (-du) \\ &= \int_{-1}^1 \frac{1}{(1+u^2)^2} du \\ &= 2 \int_0^1 \frac{1}{(1+u^2)^2} du \end{aligned} $$

次に、$u = \tan \theta$ とおくと、$du = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$ であり、$u$ が $0$ から $1$ に変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ に変化する。

$$ \begin{aligned} J &= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{(1+\tan^2 \theta)^2} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\left(\frac{1}{\cos^2 \theta}\right)^2} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta d\theta \\ &= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta \\ &= \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi+2}{4} \end{aligned} $$

$n \to \infty$ のとき、不等式 $m\pi \le n < (m+1)\pi$ より $m \to \infty$ となる。 （2） の不等式の両端の式の極限を考えると、

$$ \lim_{m \to \infty} \frac{m}{(m+1)\pi} = \lim_{m \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{m})\pi} = \frac{1}{\pi} $$

$$ \lim_{m \to \infty} \frac{m+1}{m\pi} = \lim_{m \to \infty} \frac{1+\frac{1}{m}}{\pi} = \frac{1}{\pi} $$

となる。したがって、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2} dx = \frac{1}{\pi} J = \frac{\pi+2}{4\pi} $$

解説

• 本問は、周期関数の積分と極限を組み合わせた総合問題である。
• (1)の等式は、偶関数と三角関数の組み合わせによる周期性を利用した有名事実の証明であり、丁寧に変数変換を行う必要がある。
• (2)では、被積分関数が絶対値を含む形であることに注目し、$f(x)=|x|$ などの偶関数を適用して(1)の形に帰着させる発想が求められる。積分区間の大小関係と係数の大小関係を分けて評価することがポイントである。
• (3)は典型的なはさみうちの原理の適用である。定積分 $J$ の計算において、$u = \cos x$、$u = \tan \theta$ という2段階の置換積分を正確に行えるかが鍵となる。

答え

(1)

$$ \int_0^{m\pi} f(\sin x)g(\cos x)\,dx = m\int_0^\pi f(\sin x)g(\cos x)\,dx $$

(2)

$$ \frac{m}{(m+1)\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2}\,dx \leqq \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{(1+\cos^2 nx)^2}\,dx \leqq \frac{m+1}{m\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{(1+\cos^2 x)^2}\,dx $$

(3)

$$ \frac{\pi+2}{4\pi} $$