東北大学 2015年 理系 第4問 解説

方針・初手

区間 $[2n\pi,(2n+1)\pi]$ では $\sin x \ge 0$ であり、$a>0$ だから $x^{-a}$ は単調減少である。したがって、$x^{-a}$ をこの区間での最小値・最大値ではさみ、$\int \sin x,dx$ や $\int \sin^2 x,dx$ と比較すればよい。

また、三角形の面積 $A_n$ は底辺と高さからただちに求まる。これを用いて比の極限をはさみうちで処理する。

解法1

まず、三角形の底辺の長さは

$$ (2n+1)\pi-2n\pi=\pi $$

であり、高さは

$$ \frac{1}{\left{\left(2n+\frac12\right)\pi\right}^a} $$

であるから、

$$ A_n=\frac12\cdot \pi \cdot \frac{1}{\left{\left(2n+\frac12\right)\pi\right}^a} =\frac{\pi}{2\left{\left(2n+\frac12\right)\pi\right}^a} $$

となる。

（1） 不等式の証明

$a>0$ より、関数 $f(x)=x^{-a}$ は $x>0$ で単調減少である。したがって、$x\in[2n\pi,(2n+1)\pi]$ に対して

$$ \frac{1}{{(2n+1)\pi}^a}\le \frac{1}{x^a}\le \frac{1}{(2n\pi)^a} $$

が成り立つ。

この区間では $\sin x\ge 0$ であるから、上の不等式に $\sin x$ を掛けて積分すると、

$$ \frac{1}{{(2n+1)\pi}^a}\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin x,dx \le B_n \le \frac{1}{(2n\pi)^a}\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin x,dx $$

を得る。

ここで

$$ \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin x,dx ================================= # [-\cos x]_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} -(-1)+1=2 $$

であるから、

$$ \frac{2}{{(2n+1)\pi}^a}\le B_n\le \frac{2}{(2n\pi)^a} $$

となる。

（2） $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}$

（1） より

$$ \frac{2}{{(2n+1)\pi}^a}\le B_n\le \frac{2}{(2n\pi)^a} $$

であるから、正の数 $A_n$ で割る代わりに、分母として比較すれば

$$ \frac{A_n}{,2/(2n\pi)^a,}\le \frac{A_n}{B_n}\le \frac{A_n}{,2/{(2n+1)\pi}^a,} $$

となる。

ここに $A_n=\dfrac{\pi}{2{(2n+\frac12)\pi}^a}$ を代入すると、

$$ \frac{\pi}{4}\left(\frac{2n}{2n+\frac12}\right)^a \le \frac{A_n}{B_n} \le \frac{\pi}{4}\left(\frac{2n+1}{2n+\frac12}\right)^a $$

を得る。

$n\to\infty$ で

$$ \left(\frac{2n}{2n+\frac12}\right)^a\to 1, \qquad \left(\frac{2n+1}{2n+\frac12}\right)^a\to 1 $$

であるから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=\frac{\pi}{4} $$

である。

（3） $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{C_n}$

（1） と同様に、$x\in[2n\pi,(2n+1)\pi]$ で

$$ \frac{1}{{(2n+1)\pi}^a}\le \frac{1}{x^a}\le \frac{1}{(2n\pi)^a} $$

かつ $\sin^2 x\ge 0$ であるから、

$$ \frac{1}{{(2n+1)\pi}^a}\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin^2 x,dx \le C_n\le \frac{1}{(2n\pi)^a}\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin^2 x,dx $$

となる。

ここで $\sin^2 x$ は周期 $\pi$ をもつので、

$$ \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\sin^2 x,dx =================================== # \int_0^\pi \sin^2 x,dx \frac{\pi}{2} $$

である。よって

$$ \frac{\pi}{2{(2n+1)\pi}^a}\le C_n\le \frac{\pi}{2(2n\pi)^a} $$

を得る。

したがって、

$$ \frac{A_n}{,\pi/(2(2n\pi)^a),}\le \frac{A_n}{C_n}\le \frac{A_n}{,\pi/{2((2n+1)\pi)^a},} $$

すなわち

$$ \left(\frac{2n}{2n+\frac12}\right)^a \le \frac{A_n}{C_n} \le \left(\frac{2n+1}{2n+\frac12}\right)^a $$

となる。

両端はともに $n\to\infty$ で $1$ に収束するから、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{C_n}=1 $$

である。

解説

この問題の本質は、区間 $[2n\pi,(2n+1)\pi]$ では $x^{-a}$ の変化が緩やかであり、積分

$$ \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\frac{\sin x}{x^a},dx,\qquad \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\frac{\sin^2 x}{x^a},dx $$

が「$\sin x$ や $\sin^2 x$ の積分値に、ほぼ一定の重み $x^{-a}$ を掛けたもの」とみなせる点にある。

そのため、$x^{-a}$ を区間内の最大値・最小値で評価するだけで、$B_n$ や $C_n$ の漸近的な大きさが決まる。三角形の面積 $A_n$ も同じ次数の量であるため、最後は比をはさみうちに持ち込めばよい。

答え

$$ \frac{2}{{(2n+1)\pi}^a}\le B_n\le \frac{2}{(2n\pi)^a} $$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}=\frac{\pi}{4} $$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{C_n}=1 $$