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東北大学 1962年文系第4問解説

方針・初手

(1) は、2点 P, Q を通る直線の方程式を立て、$x$ 軸との交点 $(l, 0)$ を求めます。計算の過程で三角関数の加法定理や和積の公式を活用し、$\tan\frac{\alpha}{2}$, $\tan\frac{\beta}{2}$ の形に帰着させます。$\cos\alpha = \cos\beta$ となる場合とそうでない場合で直線の方程式の立て方が変わるため、場合分けを行うことが重要です。

(2) は、(1) で得られた関係式を、点 A, R と点 A, S のそれぞれの組に適用します。点 B, C の座標を設定し、(1) の結果を利用して式を連立させ、設定したパラメータを消去することで目的の式を得ます。

解法1

(1)

点 $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$, $Q(\cos\beta, \sin\beta)$ を通る直線と $x$ 軸の交点が $(l, 0)$ である。

(i) $\cos\alpha \neq \cos\beta$ のとき

直線 PQ の方程式は、

$$y - \sin\alpha = \frac{\sin\beta - \sin\alpha}{\cos\beta - \cos\alpha}(x - \cos\alpha)$$

この直線が $x$ 軸上の点 $(l, 0)$ を通るので、$x = l, y = 0$ を代入して、

$$-\sin\alpha = \frac{\sin\beta - \sin\alpha}{\cos\beta - \cos\alpha}(l - \cos\alpha)$$

これを $l$ について解く。

$$l - \cos\alpha = \frac{-\sin\alpha(\cos\beta - \cos\alpha)}{\sin\beta - \sin\alpha}$$

$$l = \cos\alpha - \frac{\sin\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\alpha}{\sin\beta - \sin\alpha}$$

$$l = \frac{\sin\beta\cos\alpha - \sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\cos\beta + \sin\alpha\cos\alpha}{\sin\beta - \sin\alpha}$$

$$l = \frac{\sin\beta\cos\alpha - \cos\beta\sin\alpha}{\sin\beta - \sin\alpha}$$

分子は正弦の加法定理より $\sin(\beta - \alpha)$ となり、分母は和積の公式を用いて変形すると、

$$l = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{2\cos\frac{\beta + \alpha}{2}\sin\frac{\beta - \alpha}{2}}$$

分子に倍角の公式 $\sin(\beta - \alpha) = 2\sin\frac{\beta - \alpha}{2}\cos\frac{\beta - \alpha}{2}$ を適用して、

$$l = \frac{2\sin\frac{\beta - \alpha}{2}\cos\frac{\beta - \alpha}{2}}{2\cos\frac{\beta + \alpha}{2}\sin\frac{\beta - \alpha}{2}}$$

ここで、$\sin\alpha \neq \sin\beta$ より $\alpha \neq \beta + 2n\pi$ かつ $\alpha \neq \pi - \beta + 2n\pi$ ($n$ は整数) である。前者の条件より $\sin\frac{\beta - \alpha}{2} \neq 0$ となり、後者の条件より $\cos\frac{\beta + \alpha}{2} \neq 0$ となるため約分ができ、

$$l = \frac{\cos\frac{\beta - \alpha}{2}}{\cos\frac{\beta + \alpha}{2}}$$

これより $\frac{l - 1}{l + 1}$ を計算する。

$$\frac{l - 1}{l + 1} = \frac{\frac{\cos\frac{\beta - \alpha}{2}}{\cos\frac{\beta + \alpha}{2}} - 1}{\frac{\cos\frac{\beta - \alpha}{2}}{\cos\frac{\beta + \alpha}{2}} + 1} = \frac{\cos\frac{\beta - \alpha}{2} - \cos\frac{\beta + \alpha}{2}}{\cos\frac{\beta - \alpha}{2} + \cos\frac{\beta + \alpha}{2}}$$

和積の公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$, $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ を用いて、

$$\text{分子} = -2\sin\frac{\frac{\beta - \alpha}{2} + \frac{\beta + \alpha}{2}}{2}\sin\frac{\frac{\beta - \alpha}{2} - \frac{\beta + \alpha}{2}}{2} = -2\sin\frac{\beta}{2}\sin\left(-\frac{\alpha}{2}\right) = 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$$

$$\text{分母} = 2\cos\frac{\frac{\beta - \alpha}{2} + \frac{\beta + \alpha}{2}}{2}\cos\frac{\frac{\beta - \alpha}{2} - \frac{\beta + \alpha}{2}}{2} = 2\cos\frac{\beta}{2}\cos\left(-\frac{\alpha}{2}\right) = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}$$

ここで、点 P, Q は $x$ 軸上にないため $\alpha \neq m\pi, \beta \neq k\pi$ ($m, k$ は整数) であり、$\cos\frac{\alpha}{2} \neq 0, \cos\frac{\beta}{2} \neq 0$ である。したがって、

$$\frac{l - 1}{l + 1} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}$$

(ii) $\cos\alpha = \cos\beta$ のとき

$\sin\alpha \neq \sin\beta$ より、$\beta = -\alpha + 2n\pi$ ($n$ は整数)。このとき直線 PQ は $y$ 軸に平行となり、その方程式は $x = \cos\alpha$ である。 $x$ 軸との交点 $(l, 0)$ より、$l = \cos\alpha$ である。半角の公式 $\cos\alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} - 1$ を用いると、

$$l - 1 = -2\sin^2\frac{\alpha}{2}$$

$$l + 1 = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$$

よって、

$$\frac{l - 1}{l + 1} = \frac{-2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = -\tan^2\frac{\alpha}{2}$$

一方、$\beta = -\alpha + 2n\pi$ より $\tan\frac{\beta}{2} = \tan\left(-\frac{\alpha}{2} + n\pi\right) = -\tan\frac{\alpha}{2}$ であるから、

$$\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2} = \tan\frac{\alpha}{2}\left(-\tan\frac{\alpha}{2}\right) = -\tan^2\frac{\alpha}{2}$$

したがって、この場合も $\frac{l - 1}{l + 1} = \tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}$ が成り立つ。

(i), (ii) より、

$$\frac{l - 1}{l + 1} = \tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}$$

(2)

点 $B$ は $x$ 軸の円内に含まれる部分の上にあるので、$B(b, 0)$ ($-1 < b < 1$) とおける。点 $C$ は原点に関して $B$ と対称であるから、$C(-b, 0)$ である。直線 $AB$ が円周と再び交わる点が $R(\cos\gamma, \sin\gamma)$ であり、直線 $AB$ は $x$ 軸と点 $B(b, 0)$ で交わる。

ここで、点 A, R に (1) の結果を適用できるか確認する。 $A$ は $x$ 軸上にないので $\sin\theta \neq 0$ である。 $B$ は $-1 < b < 1$ であるため、直線 $AB$ が $x$ 軸と一致することはない。よって $R$ も $x$ 軸上にない。さらに、仮に $\sin\theta = \sin\gamma$ とすると、直線 $AR$ は $x$ 軸に平行となるが、直線 $AR$ は $x$ 軸上の点 $B$ を通るため $x$ 軸そのものになり、A が $x$ 軸上にないことに矛盾する。よって $\sin\theta \neq \sin\gamma$ である。

以上より (1) の条件を満たすので、(1) において $\alpha = \theta, \beta = \gamma, l = b$ として、

$$\frac{b - 1}{b + 1} = \tan\frac{\theta}{2}\tan\frac{\gamma}{2} \quad \cdots \text{①}$$

同様に、直線 $AC$ が円周と再び交わる点が $S(\cos\delta, \sin\delta)$ であり、直線 $AC$ は $x$ 軸と点 $C(-b, 0)$ で交わる。先ほどと同様の理由で (1) の条件を満たすので、(1) において $\alpha = \theta, \beta = \delta, l = -b$ として、

$$\frac{-b - 1}{-b + 1} = \tan\frac{\theta}{2}\tan\frac{\delta}{2}$$

左辺の分母分子に $-1$ を掛けて整理すると、

$$\frac{b + 1}{b - 1} = \tan\frac{\theta}{2}\tan\frac{\delta}{2} \quad \cdots \text{②}$$

①と②の辺々を掛け合わせると、

$$\frac{b - 1}{b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b - 1} = \left(\tan\frac{\theta}{2}\tan\frac{\gamma}{2}\right)\left(\tan\frac{\theta}{2}\tan\frac{\delta}{2}\right)$$

$-1 < b < 1$ より $b+1 \neq 0, b-1 \neq 0$ であるため、左辺は約分されて $1$ になる。

$$1 = \tan^2\frac{\theta}{2} \cdot \tan\frac{\gamma}{2}\tan\frac{\delta}{2}$$

点 A は $x$ 軸上にないため $\theta \neq n\pi$ であり、$\tan\frac{\theta}{2} \neq 0$ である。したがって、両辺を $\tan^2\frac{\theta}{2}$ で割ることで、

$$\tan\frac{\gamma}{2}\tan\frac{\delta}{2} = \frac{1}{\tan^2\frac{\theta}{2}}$$

解説

(1) は、直線の方程式を立てて計算を推し進める問題です。三角関数の加法定理、和と差の積の公式、半角の公式といった基本公式を適切に組み合わせて式を整理する力が問われます。また、分母が $0$ になる可能性を考慮し、$\cos\alpha = \cos\beta$ の場合を分けて論証できているかが答案の完成度を左右します。

(2) は、(1) の結果を一種の「定理」として見立て、異なる2つの状況に適用する誘導問題の典型です。(1) の $l$ に対応する値が、点 B, C の $x$ 座標 $b, -b$ になることを見抜き、得られた2つの式からパラメータ $b$ を消去するという流れに気づけば、計算自体は非常に簡潔に終わります。(1) の適用条件である「$\sin\alpha \neq \sin\beta$」や「$x$ 軸上にない点」などの確認を答案に書き添えることで、論理の飛躍がない正確な記述となります。