方針・初手

点 $P$ は直線 $AB$ 上にあり，しかも $OP$ の傾きが $m$ であるから，まず $P$ の座標を $m$ で表す。

つぎに，$\angle OPB=\angle QPA$ を「各直線のなす角」として扱う。直線 $AB$ の傾きは $-\dfrac12$ なので，その傾き角を用いて直線 $PQ$ の傾きを求め，最後に $Q$ の $x$ 座標を計算する。

解法1

直線 $AB$ は $A(4,0),,B(0,2)$ を通るから，その方程式は

$$ y=-\frac12x+2 $$

である。

また，直線 $OP$ の傾きが $m$ であるから，$P$ は

$$ y=mx $$

上にもある。したがって $P$ はこの 2 直線の交点であり，

$$ mx=-\frac12x+2 $$

より

$$ x_P=\frac{4}{2m+1},\qquad y_P=\frac{4m}{2m+1} $$

となる。よって

$$ P\left(\frac{4}{2m+1},,\frac{4m}{2m+1}\right) $$

である。

ここで

$$ \alpha=\arctan m,\qquad \beta=\arctan\frac12 $$

とおく。

直線 $OP$ の傾き角は $\alpha$，直線 $AB$ の傾き角は $-\beta$ である。

点 $P$ における ray の向きを考えると，$PO$ の方向角は $\pi+\alpha$，$PB$ の方向角は $\pi-\beta$ であるから，

$$ \angle OPB=(\pi+\alpha)-(\pi-\beta)=\alpha+\beta $$

となる。

一方，$PA$ の方向角は $-\beta$ であり，$Q$ は $x$ 軸上にあるので，$PQ$ は $PA$ よりさらに下向きになる。したがって

$$ \angle QPA=\alpha+\beta $$

より，$PQ$ の方向角は

$$ -\beta-(\alpha+\beta)=-(\alpha+2\beta) $$

である。ゆえに，直線 $PQ$ の傾きは

$$ \tan\bigl(-(\alpha+2\beta)\bigr) $$

である。

ここで

$$ \tan 2\beta =========== # \frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} # \frac{2\cdot \frac12}{1-\left(\frac12\right)^2} # \frac{1}{\frac34} \frac43 $$

だから，

$$ \text{傾き }PQ ============ # -\frac{\tan\alpha+\tan2\beta}{1-\tan\alpha\tan2\beta} # -\frac{m+\frac43}{1-\frac43m} -\frac{3m+4}{3-4m} $$

となる。

いま $Q=(q,0)$ とおくと，$PQ$ の傾きは

$$ \frac{0-y_P}{q-x_P} =================== -\frac{3m+4}{3-4m} $$

であるから，

$$ \frac{-\frac{4m}{2m+1}}{q-\frac{4}{2m+1}} ========================================= -\frac{3m+4}{3-4m} $$

となる。これを解くと

$$ q-\frac{4}{2m+1} ================ \frac{4m}{2m+1}\cdot \frac{3-4m}{3m+4} $$

よって

$$ q = \frac{4}{2m+1} + \frac{4m(3-4m)}{(2m+1)(3m+4)} $$

であり，

$$ q = \frac{4(3m+4)+4m(3-4m)}{(2m+1)(3m+4)} $$

$$ \frac{16+24m-16m^2}{(2m+1)(3m+4)} $$

となる。

したがって，$Q$ の $x$ 座標は

$$ \frac{16+24m-16m^2}{(2m+1)(3m+4)} $$

である。

解説

この問題の要点は，角の条件をそのまま図形的に追いかけるのではなく，

$$ P\text{ の座標} \rightarrow PQ\text{ の傾き} \rightarrow Q\text{ の座標} $$

という順で処理することである。

特に $\angle OPB$ と $\angle QPA$ は，ともに直線 $AB$ を基準にした角であるから，直線 $AB$ の傾き角 $\arctan \dfrac12$ を導入すると整理しやすい。最後は傾きの公式に落とし込めば機械的に求まる。

答え

$Q$ の $x$ 座標は

$$ \frac{16+24m-16m^2}{(2m+1)(3m+4)} $$

である。