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東北大学 1962年文系第5問解説

方針・初手

正数 $t$ の常用対数 $a$ に対して、指標 $n$ と仮数 $k$ の定義 $a = n + k$（$n$ は整数、$0 \leqq k < 1$）を用いる。与えられた3つの条件をそれぞれ $n$ と $k$ を用いた不等式に翻訳し、値の範囲が制限されやすい整数の変数 $n$ の候補を絞り込んでから、場合分けを行う。

解法1

常用対数の底は $10$ であるから、正数 $t$ の常用対数 $a$ は $a = \log_{10} t$ である。指標 $n$、仮数 $k$ の定義より、

$$ a = n + k \quad (n \text{ は整数}, \ 0 \leqq k < 1) $$

と表せる。条件(iii)の $\log 2$ は常用対数のことであるから、仮数の定義と合わせて、

$$ 0 \leqq k < \log_{10} 2 $$

である。

条件(ii)より、$-1 \leqq a \leqq \frac{11}{2}$ であるから、

$$ -1 \leqq n + k \leqq \frac{11}{2} $$

$0 \leqq k < 1$ であることを用いると、

$$ -1 - k \leqq n \leqq \frac{11}{2} - k $$

ここで $k \ge 0$ より $n \ge -1$、また $k < 1$ より $n < \frac{11}{2}$ であるから、$n$ は $-1$ 以上の $5$ 以下の整数に絞られる。すなわち、$n = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ のいずれかである。

次に、条件(i)より、2次方程式 $x^2 + nx + a = 0$ が実数解をもつための条件は、判別式を $D$ とすると $D \ge 0$ である。

$$ D = n^2 - 4a \ge 0 $$

$$ a \leqq \frac{n^2}{4} $$

$a = n + k$ を代入して $k$ について解くと、

$$ n + k \leqq \frac{n^2}{4} $$

$$ k \leqq \frac{n^2}{4} - n $$

この不等式と $0 \leqq k < \log_{10} 2$ をともに満たす $k$ が存在するかどうかを、各 $n$ の値について調べる。

(i) $n = -1$ のとき $k \leqq \frac{1}{4} - (-1) = \frac{5}{4}$ となる。これは $0 \leqq k < \log_{10} 2$ の範囲のすべての $k$ に対して成り立つ。また、$a = -1 + k \ge -1$ となり、条件(ii)も満たされる。 $a = -1 + k$ より $t = 10^a = 10^{-1+k} = 10^{-1} \cdot 10^k$ となる。 $0 \leqq k < \log_{10} 2$ より $10^0 \leqq 10^k < 10^{\log_{10} 2}$、すなわち $1 \leqq 10^k < 2$ であるから、

$$ \frac{1}{10} \leqq t < \frac{1}{5} $$

(ii) $n = 0$ のとき $k \leqq 0 - 0 = 0$ となる。 $0 \leqq k$ であるから $k = 0$ と定まる。これは $k < \log_{10} 2$ を満たす。このとき $a = 0$ となり、条件(ii)も満たされる。したがって、$t = 10^0$ より、

$$ t = 1 $$

(iii) $n = 1$ のとき $k \leqq \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$ となる。これを満たす $k \ge 0$ は存在しないため、不適である。

(iv) $n = 2$ のとき $k \leqq \frac{4}{4} - 2 = -1$ となる。これを満たす $k \ge 0$ は存在しないため、不適である。

(v) $n = 3$ のとき $k \leqq \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4}$ となる。これを満たす $k \ge 0$ は存在しないため、不適である。

(vi) $n = 4$ のとき $k \leqq \frac{16}{4} - 4 = 0$ となる。 $0 \leqq k$ であるから $k = 0$ と定まる。これは $k < \log_{10} 2$ を満たす。このとき $a = 4$ となり、条件(ii)も満たされる。したがって、$t = 10^4$ より、

$$ t = 10000 $$

(vii) $n = 5$ のとき $k \leqq \frac{25}{4} - 5 = \frac{5}{4}$ となる。これは $0 \leqq k < \log_{10} 2$ の範囲のすべての $k$ に対して成り立つ。また、条件(ii)の $a \leqq \frac{11}{2}$ について、$a = 5 + k \leqq \frac{11}{2}$ より $k \leqq \frac{1}{2}$ となる。ここで $10 > 4$ より $\log_{10} 10 > \log_{10} 2^2$、すなわち $1 > 2\log_{10} 2$ となり $\log_{10} 2 < \frac{1}{2}$ である。したがって、$0 \leqq k < \log_{10} 2$ の範囲において $k \leqq \frac{1}{2}$ は常に成り立つ。 $a = 5 + k$ より $t = 10^a = 10^5 \cdot 10^k$ となる。 $1 \leqq 10^k < 2$ であるから、

$$ 100000 \leqq t < 200000 $$

以上より、求める $t$ の値の範囲は、(i)、(ii)、(vi)、(vii) の結果を合わせたものになる。

解説

常用対数の指標（整数部分）と仮数（小数部分）の定義式 $a = n + k$（$0 \leqq k < 1$）を正しく立式し、条件を数式に落とし込めるかが問われる問題である。複数ある変数のうち、整数という強い制約を持つ $n$ に着目し、不等式からその候補を絞り込むのが典型的なアプローチである。$n$ の値が絞れた後は、それぞれの場合についてしらみつぶしに調べることで確実な解答を得られる。