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大阪大学 2004年理系第5問解説

方針・初手

直線 $l$ 上にある各円の接点の座標（または直線の端点からの距離）を求め、2円が外接する条件（接点間の距離が $2R$ または $2r$ になること）から半径 $R, r$ の方程式を立てる。直線 $l$ の式と円の中心との距離の公式、あるいはベクトルの成分計算を用いて接点の位置を特定するのが確実なアプローチである。最後に $\sin\theta + \cos\theta = u$ とおくことで式が劇的に簡略化されることに気づけるかが鍵となる。

解法1

直線 $l: x\sin\theta + y\cos\theta = 1$ と $y$ 軸、$x$ 軸との交点をそれぞれ $A, B$ とおく。

$$ A\left(0, \frac{1}{\cos\theta}\right), \quad B\left(\frac{1}{\sin\theta}, 0\right) $$

このとき、線分 $AB$ の長さは以下のようになる。

$$ AB = \sqrt{\frac{1}{\sin^2\theta} + \frac{1}{\cos^2\theta}} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} $$

円 $C_1, C_2$（半径 $R$）は領域 $D$ にある。 $C_1$ は $y$ 軸と $l$ に接するため、中心 $O_1$ の $x$ 座標は $R$ である。$O_1$ から $l$ へ下ろした垂線の足（接点）を $S_1$ とすると、領域 $D$ の向きを考慮して $\vec{O_1 S_1}$ は $l$ の法線ベクトル $\vec{n} = (\sin\theta, \cos\theta)$ とは逆向きになる。すなわち $\vec{O_1 S_1} = -R(\sin\theta, \cos\theta)$ である。これにより、$S_1$ の $x$ 座標は $R - R\sin\theta = R(1-\sin\theta)$ となる。 $S_1$ は直線 $l$ 上の点であるため、$y$ 座標は $R(1-\sin\theta)\sin\theta + y\cos\theta = 1$ より、

$$ y = \frac{1 - R\sin\theta + R\sin^2\theta}{\cos\theta} $$

となる。点 $A$ と $S_1$ の距離 $A S_1$ を求める。

$$ \begin{aligned} A S_1^2 &= \{R(1-\sin\theta) - 0\}^2 + \left\{ \frac{1 - R\sin\theta + R\sin^2\theta}{\cos\theta} - \frac{1}{\cos\theta} \right\}^2 \\ &= R^2(1-\sin\theta)^2 + \frac{R^2(-\sin\theta+\sin^2\theta)^2}{\cos^2\theta} \\ &= R^2(1-\sin\theta)^2 \left( 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \right) \\ &= \frac{R^2(1-\sin\theta)^2}{\cos^2\theta} \end{aligned} $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta > 0, 1-\sin\theta > 0$ であるから、$A S_1 = R \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}$ を得る。

同様に、円 $C_2$ は $x$ 軸と $l$ に接するため、中心 $O_2$ の $y$ 座標は $R$ である。$l$ との接点を $S_2$ とすると $\vec{O_2 S_2} = -R(\sin\theta, \cos\theta)$ より、$S_2$ の $y$ 座標は $R(1-\cos\theta)$ となる。先ほどと同様に $l$ の方程式から $x$ 座標を求め、点 $B$ と $S_2$ の距離 $B S_2$ を計算すると、以下のようになる。

$$ B S_2 = R \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} $$

$S_1$ の $x$ 座標 $R(1-\sin\theta)$ は正であるため、$S_1$ は $A$ から $B$ へ向かう半直線上にある。また $S_2$ の $y$ 座標 $R(1-\cos\theta)$ も正であるため、$S_2$ は $B$ から $A$ へ向かう半直線上にある。$C_1$ が $y$ 軸に、$C_2$ が $x$ 軸に接している位置関係から、接点 $S_1, S_2$ は線分 $AB$ 上に $A, S_1, S_2, B$ の順に並ぶ。半径がともに $R$ で外接する2円の共通接線の長さは $2R$ であるため、$S_1 S_2 = 2R$ が成り立つ。したがって $S_1 S_2 = AB - A S_1 - B S_2$ より、

$$ 2R = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} - R\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} - R\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} $$

$$ R \left( 2 + \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} \right) = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} $$

両辺に $\sin\theta\cos\theta$ を掛けて整理する。

$$ R \left( 2\sin\theta\cos\theta + \sin\theta(1-\sin\theta) + \cos\theta(1-\cos\theta) \right) = 1 $$

$$ R (\sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta - (\sin^2\theta + \cos^2\theta)) = 1 $$

$$ R (\sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 1) = 1 $$

次に、領域 $D'$ 内にある円 $C_1', C_2'$ について考える。 $C_1'$ の中心 $O_1'$ は原点側にあるため、接点 $S_1'$ へのベクトルは $\vec{O_1' S_1'} = r(\sin\theta, \cos\theta)$ となる。 $S_1'$ の $x$ 座標は $r + r\sin\theta = r(1+\sin\theta)$ となり、距離 $A S_1'$ は先ほどの $R$ を $r$ に、$-\sin\theta$ を $+\sin\theta$ に置き換えた形となり $A S_1' = r \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$ を得る。同様に、$C_2'$ の接点 $S_2'$ についても $B S_2' = r \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$ となる。これらも線分 $AB$ 上に $A, S_1', S_2', B$ の順に並ぶため、$S_1' S_2' = 2r$ より以下の式が成り立つ。

$$ 2r = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} - r\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} - r\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} $$

先ほどと同様に整理すると、次のようになる。

$$ r (\sin\theta + \cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta + 1) = 1 $$

(1) ここで、$u = \sin\theta + \cos\theta$ とおく。両辺を2乗すると $u^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ となるため、

$$ 2\sin\theta\cos\theta - 1 = u^2 - 2 $$

$$ 2\sin\theta\cos\theta + 1 = u^2 $$

と表せる。これを $R$ および $r$ の方程式に代入する。

$$ R(u + u^2 - 2) = 1 \implies R = \frac{1}{(u+2)(u-1)} $$

$$ r(u + u^2) = 1 \implies r = \frac{1}{u(u+1)} $$

したがって、求める比 $\frac{r}{R}$ は次のように計算できる。

$$ \frac{r}{R} = \frac{(u+2)(u-1)}{u(u+1)} = \frac{u^2+u-2}{u^2+u} = 1 - \frac{2}{u^2+u} $$

$u$ を $\theta$ の式に戻す。$u^2+u = 1 + 2\sin\theta\cos\theta + \sin\theta + \cos\theta = 1 + \sin2\theta + \sin\theta + \cos\theta$ であるから、

$$ \frac{r}{R} = \frac{\sin2\theta + \sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin2\theta + \sin\theta + \cos\theta + 1} $$

(2) $u = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ と変形できる。 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$ であるから、

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} < \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1 $$

すなわち $1 < u \leqq \sqrt{2}$ となる。 $f(u) = u^2+u$ は $u > 0$ において単調増加であるため、

$$ 1^2 + 1 < u^2+u \leqq (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} $$

$$ 2 < u^2+u \leqq 2+\sqrt{2} $$

各辺が正であるから逆数をとって不等号を反転させる。

$$ \frac{1}{2+\sqrt{2}} \leqq \frac{1}{u^2+u} < \frac{1}{2} $$

各辺を $-2$ 倍すると不等号の向きが反転する。さらに $1$ を加えると、

$$ 1 - \frac{2}{2+\sqrt{2}} \geqq 1 - \frac{2}{u^2+u} > 1 - \frac{2}{2} $$

ここで $1 - \frac{2}{2+\sqrt{2}} = 1 - \frac{2(2-\sqrt{2})}{2} = \sqrt{2} - 1$ であるから、$\frac{r}{R}$ のとりうる値の範囲は以下のようになる。

$$ 0 < \frac{r}{R} \leqq \sqrt{2} - 1 $$

解説

図形的な直感と計算力を結びつける良問である。「互いに外接する等円が共通接線と接するとき、接点間の距離が半径の2倍（$2R$ または $2r$）になる」という性質を利用することで、複雑な中心座標の距離計算を避けることができる。また、立式後に現れる $\sin\theta\cos\theta$ と $\sin\theta+\cos\theta$ の対称式を見逃さず、$u = \sin\theta+\cos\theta$ と置換することで、煩雑な三角関数の分数を劇的にシンプルな代数式へと昇華させることができる。