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東北大学 1977年文系第2問解説

方針・初手

内積の性質（線形性や対称性）を丁寧に適用して計算を進める。 $\vec{a}$ が単位ベクトルであること、すなわち $(\vec{a}, \vec{a}) = |\vec{a}|^2 = 1$ であることを随所で利用する。 (1) と (2) は定義に従って代数的に計算すればよい。(3) は与えられたベクトルを代入し、$\vec{a}$ の成分についての連立方程式を導く。

解法1

(1)

$\vec{a}$ は単位ベクトルなので、$(\vec{a}, \vec{a}) = 1$ である。 $T(\vec{x})$ および $T(\vec{y})$ の定義を内積の式に代入して計算する。

$$ (T(\vec{x}), T(\vec{y})) = (-\vec{x} + 2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}, -\vec{y} + 2(\vec{y}, \vec{a})\vec{a}) $$

内積の線形性を用いて展開する。

$$ \begin{aligned} (T(\vec{x}), T(\vec{y})) &= (-\vec{x}, -\vec{y}) + (-\vec{x}, 2(\vec{y}, \vec{a})\vec{a}) + (2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}, -\vec{y}) + (2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}, 2(\vec{y}, \vec{a})\vec{a}) \\ &= (\vec{x}, \vec{y}) - 2(\vec{y}, \vec{a})(\vec{x}, \vec{a}) - 2(\vec{x}, \vec{a})(\vec{a}, \vec{y}) + 4(\vec{x}, \vec{a})(\vec{y}, \vec{a})(\vec{a}, \vec{a}) \end{aligned} $$

ここで、内積の対称性から $(\vec{a}, \vec{y}) = (\vec{y}, \vec{a})$ であり、また $(\vec{a}, \vec{a}) = 1$ であるから、次のように整理できる。

$$ \begin{aligned} (T(\vec{x}), T(\vec{y})) &= (\vec{x}, \vec{y}) - 2(\vec{x}, \vec{a})(\vec{y}, \vec{a}) - 2(\vec{x}, \vec{a})(\vec{y}, \vec{a}) + 4(\vec{x}, \vec{a})(\vec{y}, \vec{a}) \\ &= (\vec{x}, \vec{y}) - 4(\vec{x}, \vec{a})(\vec{y}, \vec{a}) + 4(\vec{x}, \vec{a})(\vec{y}, \vec{a}) \\ &= (\vec{x}, \vec{y}) \end{aligned} $$

したがって、$(T(\vec{x}), T(\vec{y})) = (\vec{x}, \vec{y})$ が成り立つ。

(2)

$T(T(\vec{x}))$ の定義式を展開し、$(\vec{a}, \vec{a}) = 1$ を用いて整理する。

$$ \begin{aligned} T(T(\vec{x})) &= T(-\vec{x} + 2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}) \\ &= -(-\vec{x} + 2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}) + 2(-\vec{x} + 2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}, \vec{a})\vec{a} \end{aligned} $$

第2項の内積を計算する。

$$ \begin{aligned} (-\vec{x} + 2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}, \vec{a}) &= (-\vec{x}, \vec{a}) + (2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}, \vec{a}) \\ &= -(\vec{x}, \vec{a}) + 2(\vec{x}, \vec{a})(\vec{a}, \vec{a}) \\ &= -(\vec{x}, \vec{a}) + 2(\vec{x}, \vec{a}) \\ &= (\vec{x}, \vec{a}) \end{aligned} $$

これを元の式に戻す。

$$ \begin{aligned} T(T(\vec{x})) &= \vec{x} - 2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a} + 2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a} \\ &= \vec{x} \end{aligned} $$

よって、求める値は以下の通りになる。

$$ T(T(\vec{x})) - \vec{x} = \vec{x} - \vec{x} = \vec{0} $$

(3)

$\vec{a} = (a_1, a_2)$ とおく。 $\vec{u} = (1, 0)$ より、$\vec{u}$ と $\vec{a}$ の内積は以下となる。

$$ (\vec{u}, \vec{a}) = 1 \cdot a_1 + 0 \cdot a_2 = a_1 $$

これを $T(\vec{u}) = -\vec{u} + 2(\vec{u}, \vec{a})\vec{a}$ に代入する。

$$ \begin{aligned} T(\vec{u}) &= -(1, 0) + 2a_1(a_1, a_2) \\ &= (-1 + 2a_1^2, 2a_1 a_2) \end{aligned} $$

条件 $T(\vec{u}) = \vec{v}$ より、このベクトルが $\vec{v} = (0, 1)$ に等しいので、各成分を比較して連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} -1 + 2a_1^2 = 0 \\ 2a_1 a_2 = 1 \end{cases} $$

第1式より $2a_1^2 = 1$、すなわち $a_1^2 = \frac{1}{2}$ であるから、

$$ a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$a_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、第2式より $2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot a_2 = 1$ となり、$a_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を得る。

$a_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、第2式より $2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot a_2 = 1$ となり、$a_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を得る。

どちらの場合も $a_1^2 + a_2^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ となり、$\vec{a} = (a_1, a_2)$ が単位ベクトルであるという条件を満たしている。

したがって、求める $\vec{a}$ は以下の2つである。

$$ \vec{a} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right), \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

解説

本問の変換 $T(\vec{x}) = -\vec{x} + 2(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}$ は、幾何学的には「ベクトル $\vec{a}$ に平行な直線を軸とする線対称移動」を表している。 $\vec{x}$ の $\vec{a}$ 方向への正射影ベクトルが $(\vec{x}, \vec{a})\vec{a}$ と表されることに気付けば、$\vec{x}$ と $T(\vec{x})$ の中点が正射影ベクトルとなることが分かる。この図形的意味を把握していれば、線対称移動は長さを変えない直交変換であるから (1) が成り立ち、2回対称移動すると元に戻るから (2) が成り立つのは自明の理である。 (3) についても、$(1, 0)$ を $(0, 1)$ に移す線対称の軸は直線 $y=x$ であるから、その方向の単位ベクトルを求めればよいと直感的に答えを予想することができる。代数的な式変形と図形的な意味の双方からアプローチできると見通しが良い。