東北大学 1977年 文系 第3問 解説

方針・初手

• $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることと内角の和から、各内角の大きさを具体的に求める。
• (1) は正弦定理を用いて辺の比 $\frac{b}{a}$ を $\angle A$ の三角比で表し、2倍角・3倍角の公式を利用して次数を下げる。
• (2) は与式が $a$ と $b$ についての3次の同次式（各項の次数が等しい式）であることに着目し、$a^3$ でくくり出すことで $\frac{b}{a}$ の式に帰着させる。

解法1

(1)

$\triangle ABC$ において、$AB=AC=b$ より二等辺三角形であるから、$\angle B = \angle C$ である。

条件より $\angle B = 4\angle A$ であるから、$\angle C = 4\angle A$ となる。

三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

$$\angle A + 4\angle A + 4\angle A = 180^\circ$$

$$9\angle A = 180^\circ$$

よって、$\angle A = 20^\circ$ である。

ここで、$\alpha = \cos A = \cos 20^\circ$ である。

$\triangle ABC$ に正弦定理を用いると、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

$\angle A = 20^\circ$ より $\sin A \neq 0$ であるから、

$$\frac{b}{a} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 4A}{\sin A}$$

正弦の2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を繰り返し用いると、

$$\sin 4A = 2\sin 2A \cos 2A = 2(2\sin A \cos A)(2\cos^2 A - 1) = 4\sin A \cos A (2\cos^2 A - 1)$$

となる。よって、

$$\frac{b}{a} = \frac{4\sin A \cos A(2\cos^2 A - 1)}{\sin A} = 4\cos A(2\cos^2 A - 1) = 8\cos^3 A - 4\cos A$$

$\alpha = \cos A$ より、

$$\frac{b}{a} = 8\alpha^3 - 4\alpha$$

を得る。

次に、$\angle A = 20^\circ$ より $3\angle A = 60^\circ$ であるから、

$$\cos 3A = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$

余弦の3倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ より、

$$4\cos^3 A - 3\cos A = \frac{1}{2}$$

$$8\cos^3 A - 6\cos A = 1$$

すなわち、$\alpha$ は次の方程式を満たす。

$$8\alpha^3 - 6\alpha - 1 = 0$$

これを用いて $\frac{b}{a}$ の式の次数を下げる。

$$\frac{b}{a} = 8\alpha^3 - 4\alpha = (8\alpha^3 - 6\alpha - 1) + 2\alpha + 1$$

$8\alpha^3 - 6\alpha - 1 = 0$ であるから、

$$\frac{b}{a} = 2\alpha + 1$$

(2)

与えられた式 $a^3 + b^3 - 3ab^2$ について、$a$ は辺の長さであり $a \neq 0$ であるから、与式を $a^3$ でくくって $\frac{b}{a}$ の多項式として表すことができる。

$$a^3 + b^3 - 3ab^2 = a^3 \left\{ 1 + \left( \frac{b}{a} \right)^3 - 3\left( \frac{b}{a} \right)^2 \right\}$$

(1) より $\frac{b}{a} = 2\alpha + 1$ であるから、これを波括弧内に代入して展開する。

$$\begin{aligned} 1 + \left( \frac{b}{a} \right)^3 - 3\left( \frac{b}{a} \right)^2 &= 1 + (2\alpha + 1)^3 - 3(2\alpha + 1)^2 \\ &= 1 + (8\alpha^3 + 12\alpha^2 + 6\alpha + 1) - 3(4\alpha^2 + 4\alpha + 1) \\ &= 8\alpha^3 + 12\alpha^2 + 6\alpha + 2 - 12\alpha^2 - 12\alpha - 3 \\ &= 8\alpha^3 - 6\alpha - 1 \end{aligned}$$

(1) で示した通り、$8\alpha^3 - 6\alpha - 1 = 0$ であるから、波括弧内の値は $0$ となる。

したがって、

$$a^3 + b^3 - 3ab^2 = a^3 \times 0 = 0$$

解説

• まず、三角形の内角の和から角度が $\angle A=20^\circ$ と求まることに気づくことが第一歩である。
• $\cos 20^\circ$ のような有名角でない三角比を扱う場合、その3倍角が $60^\circ$ となることを利用して方程式を作り、式の次数を下げていく手法は頻出の典型処理である。
• (2) において、式を強引に展開するのではなく、同次式（すべての項が同じ次数を持つ多項式）の性質を利用して比率 $\frac{b}{a}$ の式に持ち込むことで、(1) の結果を活かして簡潔に計算できる。

答え

(1)

$$\frac{b}{a} = 2\alpha + 1$$

(2)

$$0$$