東北大学 1979年 文系 第1問 解説

方針・初手

実対称行列であることを使うのが最も自然である。

行列 $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$ は実対称行列なので、直交行列で対角化できる。すると $A^3=E$ は固有値に関する条件に直せるため、一気に絞り込める。

解法1

$A$ は実対称行列であるから、ある直交行列 $P$ と実数 $\lambda_1,\lambda_2$ を用いて

$$ A=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1} \quad (P^{-1}=P^{\mathrm T}) $$

と表せる。

このとき

$$ A^3 = P\begin{pmatrix}\lambda_1^3&0\\0&\lambda_2^3\end{pmatrix}P^{-1} $$

である。条件 $A^3=E$ より

$$ P\begin{pmatrix}\lambda_1^3&0\\0&\lambda_2^3\end{pmatrix}P^{-1} = E = P\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}P^{-1} $$

となるので、

$$ \lambda_1^3=1,\qquad \lambda_2^3=1 $$

を得る。

ここで $\lambda_1,\lambda_2$ は実数である。実数で $x^3=1$ を満たすものは $x=1$ のみであるから、

$$ \lambda_1=\lambda_2=1 $$

である。したがって

$$ A=P\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}P^{-1}=E $$

となる。

よって

$$ \begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} $$

より

$$ a=1,\qquad b=0,\qquad c=1 $$

である。

解法2

直接計算でも求められる。

まず

$$ A^2= \begin{pmatrix} a^2+b^2 & b(a+c) \\ b(a+c) & b^2+c^2 \end{pmatrix} $$

であるから、

$$ A^3=A^2A = \begin{pmatrix} a^3+2ab^2+b^2c & b(a^2+ac+b^2+c^2) \\ b(a^2+ac+b^2+c^2) & ab^2+2b^2c+c^3 \end{pmatrix} $$

となる。

これが単位行列 $E$ に等しいので、

$$ a^3+2ab^2+b^2c=1 $$

$$ b(a^2+ac+b^2+c^2)=0 $$

$$ ab^2+2b^2c+c^3=1 $$

を得る。

ここで

$$ a^2+ac+c^2 = \frac{(a-c)^2}{4}+\frac{3(a+c)^2}{4}\geqq 0 $$

であるから、

$$ a^2+ac+b^2+c^2\geqq 0 $$

である。したがって

$$ b(a^2+ac+b^2+c^2)=0 $$

より、まず $b=0$ が必要である。実際、もし $b\neq 0$ なら

$$ a^2+ac+b^2+c^2=0 $$

となるが、左辺は非負であり、しかも $b^2$ を含むので不可能である。

よって $b=0$ である。このとき

$$ A= \begin{pmatrix} a&0 \\ 0&c \end{pmatrix} $$

となり、$A^3=E$ から

$$ a^3=1,\qquad c^3=1 $$

を得る。$a,c$ は実数なので

$$ a=1,\qquad c=1 $$

である。

したがって

$$ a=1,\qquad b=0,\qquad c=1 $$

となる。

解説

この問題の本質は、実対称行列は実固有値をもち、しかも直交対角化できるという点にある。条件 $A^3=E$ は「固有値の三乗がすべて $1$」という条件に移り、実数範囲では固有値は $1$ しかありえない。

したがって、対称性に気づけば一瞬で終わる問題である。直接計算でも解けるが、対称行列の性質を使う解法のほうが見通しがよい。

答え

$$ a=1,\qquad b=0,\qquad c=1 $$

すなわち

$$ A=E $$

である。