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東北大学 1986年文系第3問解説

方針・初手

行列の累乗に関する等式 $A^3 = A$ を満たす成分を決定する問題である。行列 $A$ が2次正方行列であることから、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて $A^2$ を $A$ と $E$ （単位行列）の一次結合で表し、次数を下げていく方針が最も見通しが良い。あるいは、直接行列の積を計算し、各成分を比較して連立方程式を解くことも可能である。

解法1

ケーリー・ハミルトンの定理より、

$$ A^2 - \left(\frac{1}{2} + b\right)A + \left(\frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a\right)E = O $$

ここで、$p = \frac{1}{2} + b$、$q = \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a$ とおくと、

$$ A^2 = pA - qE $$

両辺に $A$ を掛けて、

$$ A^3 = pA^2 - qA $$

これに $A^2 = pA - qE$ を代入すると、

$$ A^3 = p(pA - qE) - qA = (p^2 - q)A - pqE $$

条件 $A^3 = A$ より、

$$ (p^2 - q)A - pqE = A $$

整理すると、

$$ (p^2 - q - 1)A - pqE = O $$

ここで、行列 $A$ は $(1, 2)$ 成分が $\frac{1}{2} \neq 0$ であるため、$A = kE$（$k$ は実数）の形で表すことはできない。すなわち、$A$ と $E$ は一次独立である。したがって、係数がともに $0$ となるため、

$$ \begin{cases} p^2 - q - 1 = 0 \\ pq = 0 \end{cases} $$

が成り立つ。$pq = 0$ より、$p = 0$ または $q = 0$ である。

(i) $p = 0$ のとき

$p^2 - q - 1 = 0$ より $0^2 - q - 1 = 0$ となり、$q = -1$ である。 $p = \frac{1}{2} + b = 0$ より、

$$ b = -\frac{1}{2} $$

$q = \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a = -1$ に $b = -\frac{1}{2}$ を代入して、

$$ -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}a = -1 $$

$$ \frac{1}{2}a = \frac{3}{4} $$

$$ a = \frac{3}{2} $$

(ii) $q = 0$ のとき

$p^2 - q - 1 = 0$ より $p^2 - 1 = 0$ となり、$p = \pm 1$ である。

(ii-1) $p = 1, q = 0$ のとき $p = \frac{1}{2} + b = 1$ より、

$$ b = \frac{1}{2} $$

$q = \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a = 0$ に $b = \frac{1}{2}$ を代入して、

$$ \frac{1}{4} - \frac{1}{2}a = 0 $$

$$ a = \frac{1}{2} $$

(ii-2) $p = -1, q = 0$ のとき $p = \frac{1}{2} + b = -1$ より、

$$ b = -\frac{3}{2} $$

$q = \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a = 0$ に $b = -\frac{3}{2}$ を代入して、

$$ -\frac{3}{4} - \frac{1}{2}a = 0 $$

$$ a = -\frac{3}{2} $$

以上 (i), (ii) より、求める $(a, b)$ の組は、

$$ (a, b) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right) $$

解法2

$A^3 = A$ より $A(A^2 - E) = O$ が成り立つ。行列の積を計算すると、

$$ A^2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} + \frac{1}{2}a & \frac{1}{4} + \frac{1}{2}b \\ \frac{1}{2}a + ab & \frac{1}{2}a + b^2 \end{pmatrix} $$

よって、

$$ A^2 - E = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}a - \frac{3}{4} & \frac{1}{2}b + \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}a + ab & \frac{1}{2}a + b^2 - 1 \end{pmatrix} $$

したがって、

$$ A(A^2 - E) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2}a - \frac{3}{4} & \frac{1}{2}b + \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}a + ab & \frac{1}{2}a + b^2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$(1, 1)$ 成分を比較すると、

$$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a - \frac{3}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a + ab\right) = 0 $$

整理して、

$$ a(1 + b) = \frac{3}{4} $$

$(1, 2)$ 成分を比較すると、

$$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}b + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a + b^2 - 1\right) = 0 $$

整理して、

$$ a + b + 2b^2 = \frac{3}{2} $$

$a(1 + b) = \frac{3}{4}$ より $b \neq -1$ であるため、$a = \frac{3}{4(b + 1)}$ と表せる。これを $a + b + 2b^2 = \frac{3}{2}$ に代入する。

$$ \frac{3}{4(b + 1)} + b + 2b^2 = \frac{3}{2} $$

両辺に $4(b + 1)$ を掛けると、

$$ 3 + 4b(b + 1) + 8b^2(b + 1) = 6(b + 1) $$

展開して整理する。

$$ 3 + 4b^2 + 4b + 8b^3 + 8b^2 - 6b - 6 = 0 $$

$$ 8b^3 + 12b^2 - 2b - 3 = 0 $$

左辺を因数分解すると、

$$ 4b^2(2b + 3) - (2b + 3) = 0 $$

$$ (4b^2 - 1)(2b + 3) = 0 $$

$$ (2b - 1)(2b + 1)(2b + 3) = 0 $$

これを解いて、$b = \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$ を得る。これらを $a = \frac{3}{4(b + 1)}$ に代入して $a$ を求める。

(ア) $b = \frac{1}{2}$ のとき

$$ a = \frac{3}{4 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{1}{2} $$

(イ) $b = -\frac{1}{2}$ のとき

$$ a = \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{2} $$

(ウ) $b = -\frac{3}{2}$ のとき

$$ a = \frac{3}{4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = -\frac{3}{2} $$

これら $(a, b)$ の組が、残りの $(2, 1)$ 成分および $(2, 2)$ 成分の条件も満たすか確認する。 $(2, 1)$ 成分の式は $a\left(\frac{1}{2}a - \frac{3}{4}\right) + b\left(\frac{1}{2}a + ab\right) = 0$ であり、$a \neq 0$ に注意して $a$ で割ると $\frac{1}{2}a - \frac{3}{4} + \frac{1}{2}b + b^2 = 0 \iff a + b + 2b^2 = \frac{3}{2}$ となり、これは $(1, 2)$ 成分の式と一致するため満たされる。 $(2, 2)$ 成分の式は $\frac{1}{4}a + ab + b^3 - b = 0$ であり、得られた３組を代入するといずれも $0$ となり適することが確認できる。したがって、求める組は以下の通りである。

$$ (a, b) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right), \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right) $$

解説

2次正方行列の累乗計算においては、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて次数を下げる手法が基本となる。得られた $xA + yE = O$ の形の式から $x=0, y=0$ を導くためには、「$A$ と $E$ が一次独立である」という理由を明記する必要がある点に注意したい。単位行列の定数倍となる行列に対しては、この論法は適用できない。別解のように直接成分を計算して連立方程式に帰着させることもできるが、計算量がやや膨らむため、見直しの際の手法として持っておくとよい。