東北大学 1996年 理系 第2問 解説

方針・初手

$A-tE$ が正則でない条件は $\det(A-tE)=0$、すなわち $t$ が $A$ の固有値であることと同値である。

この行列は各行の和が $1$ なので、まず固有値 $1$ を見つける。残るもう1つの固有値は、$2\times2$ 行列では「固有値の積 $=$ 行列式」を使えば求まる。

解法1

行列 $A$ の各行の和は

$$ \cos^2\theta+\sin^2\theta=1,\qquad \cos^22\theta+\sin^22\theta=1 $$

である。したがって

$$ A \begin{pmatrix} 1\ 1 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 1\ 1 \end{pmatrix} $$

となるから、$1$ は $A$ の固有値である。

よって、$A$ のもう1つの固有値を $\lambda$ とすると、固有値の積は $\det A$ に等しいので

$$ \lambda=\det A $$

である。そこで $\det A$ を求める。

$$ \begin{aligned} \det A &= \begin{vmatrix} \cos^2\theta & \sin^2\theta\\ \cos^22\theta & \sin^22\theta \end{vmatrix} \\ &= \cos^2\theta\sin^22\theta-\sin^2\theta\cos^22\theta. \end{aligned} $$

ここで

$$ \sin^22\theta=4\sin^2\theta\cos^2\theta $$

より、

$$ \det A ====== # 4\sin^2\theta\cos^4\theta-\sin^2\theta\cos^22\theta \sin^2\theta\left(4\cos^4\theta-\cos^22\theta\right). $$

さらに

$$ \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1 $$

より

$$ \cos^22\theta=(2\cos^2\theta-1)^2=4\cos^4\theta-4\cos^2\theta+1 $$

だから、

$$ \begin{aligned} \det A &=\sin^2\theta\left{4\cos^4\theta-(4\cos^4\theta-4\cos^2\theta+1)\right} \\ &=\sin^2\theta(4\cos^2\theta-1). \end{aligned} $$

したがって、$A$ の固有値は

$$ 1,\qquad \sin^2\theta(4\cos^2\theta-1) $$

である。ゆえに、$A-tE$ の逆行列が存在しないときの $t$ は

$$ t=1,\qquad t=\sin^2\theta(4\cos^2\theta-1) $$

である。

次に （ii） を考える。

上の2つの $t$ がすべて正になるには、$t=1$ は常に正なので、もう一方について

$$ \sin^2\theta(4\cos^2\theta-1)>0 $$

が必要十分である。

ここで $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より

$$ \sin^2\theta>0 $$

であるから、

$$ 4\cos^2\theta-1>0 $$

と同値である。したがって

$$ \cos^2\theta>\frac14 $$

を得る。さらに $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos\theta>0$ なので、

$$ \cos\theta>\frac12 $$

すなわち

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は、各行の和が $1$ であることから固有値 $1$ を即座に見抜くことである。特性方程式を直接展開しても解けるが、計算が重くなりやすい。

また、（ii） では $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ という条件から $\sin^2\theta>0$、$\cos\theta>0$ が使える。この符号条件を最後に正しく使うことが重要である。

答え

(i)

$$ t=1,\qquad t=\sin^2\theta(4\cos^2\theta-1) $$

(ii)

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{3} $$