東北大学 1988年 文系 第1問 解説

方針・初手

重心の位置ベクトル

$$ \vec{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3} $$

をそのまま用いる。特に （1） では $\vec{OG}=\vec q$ とおいて距離の二乗を内積で処理し、（2） ではそれを $A,B,C$ について足し合わせる。（3） では重心 $E$ の位置ベクトルを求め、$\vec{OF}$ を $\vec{OC},\vec{OE}$ の一次結合で表せばよい。

解法1

(1)

$\vec{OG}=\vec q$ とおくと、

$$ \vec{AG}=\vec{OG}-\vec{OA}=\vec q-\vec a $$

であるから、

$$ AG^2=\vec{AG}\cdot\vec{AG}=(\vec q-\vec a)\cdot(\vec q-\vec a) $$

となる。よって

$$ AG^2=\vec a\cdot\vec a-2\vec a\cdot\vec q+\vec q\cdot\vec q $$

である。

すなわち

$$ AG^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec q+|\vec q|^2 $$

である。

(2)

同様にして

$$ \begin{aligned} AG^2&=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec q+|\vec q|^2,\\ BG^2&=|\vec b|^2-2\vec b\cdot\vec q+|\vec q|^2,\\ CG^2&=|\vec c|^2-2\vec c\cdot\vec q+|\vec q|^2 \end{aligned} $$

であるから、これらを足すと

$$ AG^2+BG^2+CG^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2-2(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec q+3|\vec q|^2 $$

を得る。

ここで

$$ \vec q=\vec{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3} $$

より

$$ \vec a+\vec b+\vec c=3\vec q $$

だから、

$$ -2(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot\vec q+3|\vec q|^2 =-2(3\vec q)\cdot\vec q+3|\vec q|^2 =-3|\vec q|^2 $$

となる。したがって

$$ AG^2+BG^2+CG^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2-3|\vec q|^2 $$

である。

ここで

$$ OA^2=|\vec a|^2,\quad OB^2=|\vec b|^2,\quad OC^2=|\vec c|^2,\quad OG^2=|\vec q|^2 $$

であるから、

$$ OA^2+OB^2+OC^2=AG^2+BG^2+CG^2+3OG^2 $$

が示された。

(3)

三角形 $OAB$ の重心を $E$ とするから、

$$ \vec{OE}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{3}=\frac{\vec a+\vec b}{3} $$

である。

また、$\vec{OF}=\dfrac34\vec{OG}$ より

$$ \vec{OF} =\frac34\cdot\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3} =\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4} $$

となる。

ここで $\vec{OE}=\dfrac{\vec a+\vec b}{3}$ を用いると、

$$ \frac34\vec{OE}=\frac{\vec a+\vec b}{4} $$

であるから、

$$ \vec{OF}=\frac{\vec a+\vec b}{4}+\frac{\vec c}{4} =\frac34\vec{OE}+\frac14\vec{OC} $$

を得る。

よって

$$ \vec{CF}=\vec{OF}-\vec{OC} =\frac34\vec{OE}+\frac14\vec{OC}-\vec{OC} =\frac34(\vec{OE}-\vec{OC}) =\frac34\vec{CE} $$

である。

したがって $\vec{CF}$ は $\vec{CE}$ の実数倍であるから、点 $F$ は直線 $CE$ 上にある。

解説

この問題の要点は、重心を位置ベクトルで素直に表し、距離の二乗を内積に直すことである。

（2） では $AG^2,BG^2,CG^2$ を別々に処理するのではなく、3式を足して $\vec a+\vec b+\vec c=3\vec q$ を使うのが本筋である。

（3） では「直線上にあること」を示すために、$\vec{OF}$ を $\vec{OC},\vec{OE}$ の一次結合で表すか、あるいは $\vec{CF}$ が $\vec{CE}$ の実数倍であることを示せば十分である。重心の位置ベクトルを正確に書けるかが決め手である。

答え

$$ AG^2=\vec a\cdot\vec a-2\vec a\cdot\vec q+\vec q\cdot\vec q $$

すなわち

$$ AG^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec q+|\vec q|^2 $$

である。

また、

$$ OA^2+OB^2+OC^2=AG^2+BG^2+CG^2+3OG^2 $$

が成り立つ。

さらに、

$$ \vec{CF}=\frac34\vec{CE} $$

となるので、$F$ は直線 $CE$ 上にある。