東北大学 1990年 文系 第4問 解説

方針・初手

与えられた関係式を $n$ と $n-1$ で比べると，和の差から $a_n$ と $S_n$ の直接の関係が得られる。

まず

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{4S_k}{a_k+2}=S_n $$

と

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{4S_k}{a_k+2}=S_{n-1} $$

を引き算し，$a_n=S_n-S_{n-1}$ を用いて整理する。

解法1

与えられた式を $n$ と $n-1$ で引くと，

$$ \frac{4S_n}{a_n+2}=S_n-S_{n-1}=a_n $$

となる。よって

$$ a_n(a_n+2)=4S_n $$

すなわち

$$ S_n=\frac{a_n^2+2a_n}{4} $$

である。

ここで $S_n=S_{n-1}+a_n$ であるから，

$$ \frac{a_n^2+2a_n}{4}=\frac{a_{n-1}^2+2a_{n-1}}{4}+a_n $$

となる。両辺を $4$ 倍して整理すると，

$$ a_n^2-2a_n=a_{n-1}^2+2a_{n-1} $$

したがって

$$ a_n^2-2a_n+1=a_{n-1}^2+2a_{n-1}+1 $$

より，

$$ (a_n-1)^2=(a_{n-1}+1)^2 $$

を得る。

$a_n,\ a_{n-1}$ は正の数なので，$a_n-1=a_{n-1}+1$ でなければならない。よって

$$ a_n=a_{n-1}+2 $$

であり，数列 ${a_n}$ は等差数列である。

次に初項を求める。$n=1$ のとき，$S_1=a_1$ だから，

$$ \frac{4S_1}{a_1+2}=S_1 $$

すなわち

$$ \frac{4a_1}{a_1+2}=a_1 $$

である。$a_1>0$ より両辺を $a_1$ で割ると，

$$ \frac{4}{a_1+2}=1 $$

したがって

$$ a_1=2 $$

となる。

よって $a_n$ は初項 $2$，公差 $2$ の等差数列であるから，

$$ a_n=2n $$

である。

したがって

$$ S_n=\sum_{k=1}^{n}2k=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1) $$

となる。

最後に確認すると，

$$ \frac{4S_k}{a_k+2} =\frac{4\cdot k(k+1)}{2k+2} =2k $$

であるから，

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{4S_k}{a_k+2} =\sum_{k=1}^{n}2k =n(n+1) =S_n $$

となり，条件を満たす。

解説

この問題の要点は，総和の形で与えられた条件をそのまま扱い続けるのではなく，$n$ と $n-1$ の式の差を取って1項分に落とすことである。

差を取ると $\dfrac{4S_n}{a_n+2}=a_n$ という簡潔な関係になり，ここから $S_n$ を $a_n$ で表せる。さらに $S_n=S_{n-1}+a_n$ を使えば，$a_n$ どうしの漸化式に変換でき，等差数列であることが分かる。

答え

$$ a_n=2n $$

$$ S_n=n(n+1) $$