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東北大学 1989年文系第3問解説

方針・初手

(1) 漸化式 $a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n = 2n - 8$ の左辺は $(a_{n+2} - a_{n+1}) - (a_{n+1} - a_n)$ と変形できる。これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列の階差数列（第2階差）が与えられていることを意味する。$b_n = a_{n+1} - a_n$ とおいて、まずは $\{b_n\}$ の一般項を求め、そこから $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の増減は、階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n$ の符号を調べることで把握できる。$b_n < 0$ ならば $a_{n+1} < a_n$（減少）、$b_n > 0$ ならば $a_{n+1} > a_n$（増加）となることを利用する。

解法1

(1)

与えられた漸化式は、次のように変形できる。

$$ (a_{n+2} - a_{n+1}) - (a_{n+1} - a_n) = 2n - 8 $$

ここで、数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、上の式は

$$ b_{n+1} - b_n = 2n - 8 $$

となる。また、初項 $b_1$ は

$$ b_1 = a_2 - a_1 = 0 - 2 = -2 $$

である。数列 $\{b_n\}$ は初項 $-2$、階差数列が $2n - 8$ の数列であるから、$n \geqq 2$ のとき

$$ \begin{aligned} b_n &= b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 8) \\ &= -2 + 2 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n - 8(n-1) \\ &= -2 + n(n-1) - 8n + 8 \\ &= n^2 - 9n + 6 \end{aligned} $$

$n=1$ を代入すると $1^2 - 9 \cdot 1 + 6 = -2$ となり、$b_1$ と一致する。よって、すべての自然数 $n$ について

$$ b_n = n^2 - 9n + 6 $$

が成り立つ。次に、$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $n^2 - 9n + 6$ であるから、$n \geqq 2$ のとき

$$ \begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 9k + 6) \\ &= 2 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) - 9 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n + 6(n-1) \\ &= 2 + \frac{1}{6}(n-1) \{ n(2n-1) - 27n + 36 \} \\ &= 2 + \frac{1}{6}(n-1)(2n^2 - 28n + 36) \\ &= 2 + \frac{1}{3}(n-1)(n^2 - 14n + 18) \\ &= \frac{1}{3} (n^3 - 15n^2 + 32n - 18) + 2 \\ &= \frac{1}{3} n^3 - 5n^2 + \frac{32}{3} n - 4 \end{aligned} $$

$n=1$ を代入すると $\frac{1}{3} - 5 + \frac{32}{3} - 4 = 11 - 9 = 2$ となり、$a_1$ と一致する。よって、一般項は

$$ a_n = \frac{1}{3} n^3 - 5n^2 + \frac{32}{3} n - 4 $$

(2)

数列 $\{a_n\}$ の増減を調べるために、階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n = n^2 - 9n + 6$ の符号を調べる。 $b_n < 0$ となる条件は

$$ n^2 - 9n + 6 < 0 $$

これを解くと

$$ \frac{9 - \sqrt{57}}{2} < n < \frac{9 + \sqrt{57}}{2} $$

ここで、$7 < \sqrt{57} < 8$ であるから、各辺の値を評価すると

$$ \frac{1}{2} < \frac{9 - \sqrt{57}}{2} < 1 $$

$$ 8 < \frac{9 + \sqrt{57}}{2} < \frac{17}{2} $$

となる。したがって、$b_n < 0$ を満たす自然数 $n$ は $n = 1, 2, \cdots, 8$ である。これにより、$1 \leqq n \leqq 8$ のとき $b_n < 0$（すなわち $a_{n+1} < a_n$）、$n \geqq 9$ のとき $b_n > 0$（すなわち $a_{n+1} > a_n$）となる。数列 $\{a_n\}$ の大小関係は

$$ a_1 > a_2 > \cdots > a_8 > a_9 < a_{10} < \cdots $$

となるため、$a_n$ は $n=9$ のとき最小となる。そのときの最小値 $a_9$ を求める。(1)の計算途中の式 $a_n = \frac{1}{3}(n-1)(n^2 - 14n + 18) + 2$ に $n=9$ を代入すると計算が容易である。

$$ \begin{aligned} a_9 &= \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot (81 - 126 + 18) + 2 \\ &= \frac{8}{3} \cdot (-27) + 2 \\ &= -72 + 2 \\ &= -70 \end{aligned} $$

解説

隣接3項間の漸化式 $a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = f(n)$ において、係数の和が $1 + p + q = 0$ となっている場合は、階差数列を利用して次数を下げることができる典型的なパターンである。
数列の最大・最小を求める問題では、連続関数のように微分して増減表を書くのではなく、隣り合う項の差（すなわち階差数列）の符号を調べて増減を把握するのが基本方針である。無理に微分に持ち込むと極値をとる変数が整数にならない場合の評価が煩雑になるため、階差を調べる方が確実かつ簡潔である。