東北大学 1990年 文系 第3問 解説

方針・初手

この行列

$$ T=\begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} $$

は、ベクトル $(x,y)^T$ を $(ax-by,\ bx+ay)^T$ に送る行列である。まず長さがどう変化するかを直接計算する。

また、${T^n\mid n=0,1,2,\dots}$ が有限なら、異なるべきが一致するので、$T$ の可逆性を使って $T^k=E$ を導ける。そこから $\det T=a^2+b^2$ を調べれば、$T$ が回転行列であることが分かる。

最後は「要素がちょうど $2$ 個」であることを、$T\neq E$ かつ $T^2=E$ と読み替えて解く。

解法1

(1)

$\vec v=(x,y)^T\ (\neq \vec 0)$ とおくと、

$$ T\vec v= \begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} ax-by\ bx+ay \end{pmatrix} $$

である。したがって、

$$ |T\vec v|^2 =(ax-by)^2+(bx+ay)^2 $$

$$ = a^2x^2-2abxy+b^2y^2+b^2x^2+2abxy+a^2y^2 $$

$$ =(a^2+b^2)(x^2+y^2) =(a^2+b^2)|\vec v|^2 $$

となる。$\vec v\neq \vec 0$ なので $|\vec v|>0$ であり、

$$ \frac{|T\vec v|}{|\vec v|} =\sqrt{a^2+b^2} $$

を得る。

(2)

${T^n\mid n=0,1,2,\dots}$ が有限集合であるとする。このとき、ある整数 $m>n\geqq 0$ が存在して

$$ T^m=T^n $$

となる。

ここで

$$ \det T=a^2+b^2 $$

であり、$(a,b)\neq (0,0)$ だから $a^2+b^2>0$ である。よって $T$ は可逆である。

したがって、上の等式の両辺に $T^{-n}$ を掛けると、

$$ T^{m-n}=E $$

を得る。$k=m-n\ (>0)$ とおけば、

$$ T^k=E $$

である。両辺の行列式をとると、

$$ (\det T)^k=\det E=1 $$

すなわち

$$ (a^2+b^2)^k=1 $$

となる。しかも $a^2+b^2>0$ であるから、

$$ a^2+b^2=1 $$

でなければならない。

よって、ある実数 $\theta$ が存在して

$$ a=\cos\theta,\qquad b=\sin\theta $$

と書ける。したがって、

$$ T= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

となる。これは角 $\theta$ の回転を表す行列である。

以上より、$T$ は回転行列である。

(3)

${T^n\mid n=0,1,2,\dots}$ がちょうど $2$ 個の要素からなるとする。$T^0=E$ は必ず含まれるから、集合は

$$ {E,\ T} $$

であり、特に $T\neq E$ である。

このとき $T^2$ もこの集合の要素であるから、

$$ T^2=E \quad \text{または} \quad T^2=T $$

である。

もし $T^2=T$ なら、

$$ T(T-E)=O $$

となる。$T$ は可逆なので $T-E=O$、すなわち $T=E$ となって矛盾する。したがって、

$$ T^2=E $$

でなければならない。

そこで $T^2$ を計算すると、

$$ T^2= \begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & -b\ b & a \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} a^2-b^2 & -2ab\ 2ab & a^2-b^2 \end{pmatrix} $$

である。これが $E$ に等しいので、

$$ a^2-b^2=1,\qquad 2ab=0 $$

を得る。

$2ab=0$ より、（i） $a=0$ または （ii） $b=0$ である。

(i)

$a=0$ のとき

$$ a^2-b^2=1 $$

は

$$ -b^2=1 $$

となり不可能である。

(ii)

$b=0$ のとき

$$ a^2=1 $$

より $a=\pm 1$ である。しかし $a=1,\ b=0$ なら $T=E$ となり、集合の要素数は $1$ 個になってしまう。したがって除く。

よって、

$$ a=-1,\qquad b=0 $$

である。

解説

この行列は、複素数 $a+bi$ による掛け算に対応する形をしている。したがって、長さは $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 倍され、向きは回転する。

（2） の本質は、「べきが有限個しか現れない」なら、ある正整数 $k$ について $T^k=E$ になることである。すると行列式にも有限位数の条件がかかり、$\det T=a^2+b^2=1$ が従う。これで $T$ が回転行列の形に落ちる。

（3） では「要素数が $2$ 個」という条件を、単に $T\neq E$ かつ $T^2=E$ と言い換えればよい。ここを整理できるかどうかがポイントである。

答え

(1)

$$ \frac{|T\vec v|}{|\vec v|}=\sqrt{a^2+b^2} $$

(2)

${T^n\mid n=0,1,2,\dots}$ が有限集合なら

$$ a^2+b^2=1 $$

となるので、

$$ T= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

と表され、$T$ は回転行列である。

(3)

$$ (a,b)=(-1,0) $$