東北大学 1994年 文系 第4問 解説

方針・初手

積分値

$$a_n=\int_0^1 f_{n-1}(t),dt$$

を導入すると，定義式は

$$f_n(x)=3x^2+4a_nx-a_{n-1}\quad(n\ge 3)$$

と書ける。したがって，まず $a_n$ の漸化式を立てて一般項を求め，それを $f_n(x)$ に代入すればよい。

解法1

まず初期値を求めると，

$$a_1=0$$

$$a_2=\int_0^1 f_1(t),dt=\int_0^1 3t^2,dt=1$$

$$a_3=\int_0^1 f_2(t),dt=\int_0^1 (3t^2+4t),dt=1+2=3$$

である。

$n\ge 3$ のとき，

$$f_n(x)=3x^2+4a_nx-a_{n-1}$$

であるから，これを $0$ から $1$ まで積分すると

$$\begin{aligned} a_{n+1} &=\int_0^1 f_n(t),dt \ &=\int_0^1 (3t^2+4a_nt-a_{n-1}),dt \ &=1+2a_n-a_{n-1} \end{aligned}$$

を得る。よって

$$a_{n+1}=1+2a_n-a_{n-1}\quad(n\ge 3)$$

であり，添字を1つ下げれば

$$a_n=1+2a_{n-1}-a_{n-2}\quad(n\ge 4)$$

となる。これが (1) の求める漸化式である。

次に，この漸化式の一般項を求める。

$$a_n-2a_{n-1}+a_{n-2}=1$$

より，$a_n$ の2階差分が一定であるから，$a_n$ は $n$ の2次式で表されると考えられる。そこで

$$a_n=\frac12 n^2+bn+c$$

とおく。初期条件 $a_1=0,\ a_2=1$ を代入すると

$$\begin{aligned} \frac12+b+c&=0,\ 2+2b+c&=1 \end{aligned}$$

となるので，

$$b=-\frac12,\quad c=0$$

である。したがって

$$a_n=\frac{n(n-1)}{2}$$

を得る。

これを

$$f_n(x)=3x^2+4a_nx-a_{n-1}$$

に代入すると，

$$\begin{aligned} f_n(x) &=3x^2+4\cdot\frac{n(n-1)}{2}x-\frac{(n-1)(n-2)}{2} \ &=3x^2+2n(n-1)x-\frac{(n-1)(n-2)}{2} \end{aligned}$$

となる。

この式は $n=1,2$ に対しても

$$f_1(x)=3x^2,\quad f_2(x)=3x^2+4x$$

を与えるから，結局

$$f_n(x)=3x^2+2n(n-1)x-\frac{(n-1)(n-2)}{2}\quad(n\ge 1)$$

である。

解説

この問題では，関数列 $f_n(x)$ を直接追うよりも，その積分値

$$a_n=\int_0^1 f_{n-1}(t),dt$$

に注目するのが本筋である。すると $f_n(x)$ は常に2次式の形を保ち，未知なのは係数だけになる。

また，

$$a_n-2a_{n-1}+a_{n-2}=1$$

は2階差分一定の形であり，$a_n$ が2次式になることを見抜けると処理が簡潔になる。

答え

(1)

$$a_n=1+2a_{n-1}-a_{n-2}\quad(n\ge 4)$$

初期値は

$$a_1=0,\quad a_2=1$$

である。

(2)

$$f_n(x)=3x^2+2n(n-1)x-\frac{(n-1)(n-2)}{2}\quad(n\ge 1)$$