東北大学 1993年 文系 第4問 解説

方針・初手

第1式では、積分変数は $t$ であり、$x$ は積分の外から見れば定数である。したがって

$$ \int_{-1}^{1} g(t),dt,\qquad \int_{-1}^{1} t,g(t),dt $$

は $x$ によらない定数として扱える。これにより $f(x)$ の形がすぐに分かる。

その後、その形を第2式に代入して $g(x)$ を具体化し、最後に定数を積分条件から決定する。

解法1

まず

$$ A=\int_{-1}^{1} g(t),dt,\qquad B=\int_{-1}^{1} t,g(t),dt $$

とおく。

すると第1式

$$ f(x)=x^2+\int_{-1}^{1}(x-t)g(t),dt $$

は

$$ f(x)=x^2+x\int_{-1}^{1}g(t),dt-\int_{-1}^{1}t,g(t),dt $$

より

$$ f(x)=x^2+Ax-B $$

となる。よって $f(x)$ は $x$ の2次式である。これで （1） は示された。

次に、この形を第2式に代入する。第2式は

$$ g(x)=\int_{-1}^{1}\left(\frac32 f(t-x)+xg(t)\right),dt $$

であるから、

$$ g(x)=\frac32\int_{-1}^{1} f(t-x),dt + x\int_{-1}^{1}g(t),dt $$

すなわち

$$ g(x)=\frac32\int_{-1}^{1} f(t-x),dt + Ax $$

となる。

ここで

$$ f(t-x)=(t-x)^2+A(t-x)-B $$

であるから、

$$ \int_{-1}^{1} f(t-x),dt ======================= \int_{-1}^{1}(t-x)^2,dt + A\int_{-1}^{1}(t-x),dt ---------------------- \int_{-1}^{1}B,dt $$

を計算すればよい。

それぞれ

$$ \int_{-1}^{1}(t-x)^2,dt ======================= # \int_{-1}^{1}(t^2-2xt+x^2),dt # \frac23+0+2x^2 2x^2+\frac23, $$

$$ \int_{-1}^{1}(t-x),dt ===================== # 0-2x -2x, $$

$$ \int_{-1}^{1}B,dt=2B $$

であるから、

$$ \int_{-1}^{1} f(t-x),dt ======================= 2x^2+\frac23-2Ax-2B $$

となる。したがって

$$ g(x)=\frac32\left(2x^2+\frac23-2Ax-2B\right)+Ax $$

より

$$ g(x)=3x^2-2Ax+1-3B $$

を得る。

ここで $A,B$ の定義に戻って求める。

まず

$$ A=\int_{-1}^{1} g(t),dt =\int_{-1}^{1}(3t^2-2At+1-3B),dt $$

であるから、

$$ A=3\cdot\frac23-2A\cdot 0 +2(1-3B) =2+2-6B =4-6B. $$

次に

$$ B=\int_{-1}^{1} t,g(t),dt =\int_{-1}^{1} t(3t^2-2At+1-3B),dt $$

より、

$$ B=\int_{-1}^{1}(3t^3-2At^2+(1-3B)t),dt =0-2A\cdot\frac23+0 =-\frac43 A. $$

したがって $A,B$ は

$$ \begin{cases} A=4-6B,\\ B=-\dfrac43 A \end{cases} $$

を満たす。

第2式を第1式に代入すると

$$ A=4-6\left(-\frac43 A\right)=4+8A $$

より

$$ -7A=4,\qquad A=-\frac47. $$

さらに

$$ B=-\frac43\left(-\frac47\right)=\frac{16}{21}. $$

ゆえに

$$ f(x)=x^2+Ax-B ============= x^2-\frac47 x-\frac{16}{21}, $$

また

$$ g(x)=3x^2-2Ax+1-3B ================== 3x^2+\frac87 x-\frac97. $$

解説

この問題の本質は、第1式で積分部分を「$x$ に関する一次式」と見抜くことである。積分変数が $t$ なので、$\int g(t),dt$ や $\int t g(t),dt$ はただの定数になる。

その結果、$f(x)$ の形はすぐに

$$ f(x)=x^2+Ax-B $$

と定まり、未知なのは定数 $A,B$ だけになる。そこまで落とせれば、第2式から $g(x)$ も多項式として表され、最後は定数についての連立方程式に帰着する。

積分方程式であっても、対称区間 $[-1,1]$ 上では奇関数の積分が $0$ になることを使うと計算がかなり簡潔になる。

答え

$$ f(x)=x^2-\frac47 x-\frac{16}{21}, \qquad g(x)=3x^2+\frac87 x-\frac97. $$

また、（1） に対しては

$$ f(x)=x^2+\left(\int_{-1}^{1}g(t),dt\right)x-\int_{-1}^{1}t,g(t),dt $$

と書けるので、$f(x)$ は $x$ の2次式である。