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東北大学 1994年文系第2問解説

方針・初手

(1) は座標軸上の3点を通る平面の方程式（切片形）と、点と平面の距離の公式を利用する。 (2) は(1)で求めた距離 $h$ を四面体の高さとみなし、体積を利用して底面積を逆算する方針が簡明である。 (3) は各面の「面積 $\times$ 外向き単位法線ベクトル」の成分をそれぞれ計算し、和をとる。

解法1

(1)

3点 $A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)$ を通る平面の方程式は、切片形より

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$

である。分母を払い一般形に直すと

$$bc x + ca y + ab z - abc = 0$$

となる。原点 $O(0, 0, 0)$ とこの平面の距離 $h$ は、点と平面の距離の公式より

$$h = \frac{|bc \cdot 0 + ca \cdot 0 + ab \cdot 0 - abc|}{\sqrt{(bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2}} = \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}}$$

(2)

四面体 $OABC$ の体積を $V$ とする。 $\triangle OAB$ を底面とすると、その面積は $\frac{1}{2}ab$、高さは $c$ であるから

$$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}ab\right) \cdot c = \frac{1}{6}abc$$

一方、$\triangle ABC$ を底面とすると、高さは(1)で求めた原点からの距離 $h$ に等しいので

$$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle ABC \cdot h$$

である。これらを等置して $\triangle ABC$ について解くと

$$\triangle ABC = \frac{3V}{h} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6}abc}{\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}$$

(3)

$\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA$ はそれぞれ $xy$ 平面、$yz$ 平面、$zx$ 平面上の直角三角形であり、その面積は

$$S_1 = \frac{1}{2}ab, \quad S_2 = \frac{1}{2}bc, \quad S_3 = \frac{1}{2}ca$$

である。また、これらの面から四面体 $OABC$ の外部へ向かう単位法線ベクトルは、それぞれ $z$ 軸、$x$ 軸、$y$ 軸の負の向きであるから

$$\overrightarrow{u_1} = (0, 0, -1), \quad \overrightarrow{u_2} = (-1, 0, 0), \quad \overrightarrow{u_3} = (0, -1, 0)$$

となる。したがって、各ベクトルのスカラー倍は

$$\begin{aligned} S_1\overrightarrow{u_1} &= \left(0, 0, -\frac{1}{2}ab\right) \\ S_2\overrightarrow{u_2} &= \left(-\frac{1}{2}bc, 0, 0\right) \\ S_3\overrightarrow{u_3} &= \left(0, -\frac{1}{2}ca, 0\right) \end{aligned}$$

次に、$\triangle ABC$ について考える。面積は $S_0 = \triangle ABC$ であり、(2)の結果から

$$2S_0 = \sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}$$

である。平面 $ABC$ の方程式 $bc x + ca y + ab z - abc = 0$ より、法線ベクトルの1つとして $\vec{n} = (bc, ca, ab)$ がとれる。このベクトルは $a>0, b>0, c>0$ より各成分が正であり、原点側から平面 $ABC$ 側へ向かう方向、すなわち四面体の外部へ向かう方向と一致する。単位法線ベクトル $\overrightarrow{u_0}$ は $\vec{n}$ をその大きさで割ったものであり、

$$|\vec{n}| = \sqrt{(bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2} = \sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2} = 2S_0$$

であるから、

$$\overrightarrow{u_0} = \frac{1}{2S_0}(bc, ca, ab)$$

となる。両辺に $S_0$ をかけると

$$S_0\overrightarrow{u_0} = \frac{1}{2}(bc, ca, ab) = \left(\frac{1}{2}bc, \frac{1}{2}ca, \frac{1}{2}ab\right)$$

以上より、求めるベクトルの和は

$$S_0\overrightarrow{u_0} + S_1\overrightarrow{u_1} + S_2\overrightarrow{u_2} + S_3\overrightarrow{u_3}$$

$$= \left(\frac{1}{2}bc, \frac{1}{2}ca, \frac{1}{2}ab\right) + \left(0, 0, -\frac{1}{2}ab\right) + \left(-\frac{1}{2}bc, 0, 0\right) + \left(0, -\frac{1}{2}ca, 0\right)$$

$$= \left(\frac{1}{2}bc - \frac{1}{2}bc, \frac{1}{2}ca - \frac{1}{2}ca, \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}ab\right)$$

$$= (0, 0, 0) = \overrightarrow{0}$$

解法2

(2)の別解

2つのベクトル $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ を用いて三角形の面積を直接計算する。 $\overrightarrow{AB} = (-a, b, 0)$、$\overrightarrow{AC} = (-a, 0, c)$ である。

それぞれの大きさの2乗と内積は以下のようになる。

$$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-a)^2 + b^2 + 0^2 = a^2 + b^2$$

$$|\overrightarrow{AC}|^2 = (-a)^2 + 0^2 + c^2 = a^2 + c^2$$

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-a)(-a) + b \cdot 0 + 0 \cdot c = a^2$$

三角形の面積公式より

$$\begin{aligned} \triangle ABC &= \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2) - (a^2)^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{a^4 + a^2c^2 + a^2b^2 + b^2c^2 - a^4} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2} \end{aligned}$$