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東北大学 2001年文系第4問解説

方針・初手

$O$ を原点とみなし、各点の位置ベクトルで処理するのが最も自然である。

$L,M,N,P,Q,R$ はそれぞれ辺 $OA,OB,OC,BC,CA,AB$ の中点であるから、まずそれらの位置ベクトルを書き下せば $\vec p=\overrightarrow{LP},\ \vec q=\overrightarrow{MQ},\ \vec r=\overrightarrow{NR}$ が $\vec a,\vec b,\vec c$ で表せる。

すると（1）は 3 本の線分の中点が一致することから示せ、（2）は連立して解けばよい。さらに（3）は $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AX}$ を $\vec p,\vec q,\vec r$ で表して混合積を計算すればよい。

解法1

$O$ を原点とする。

各中点の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OL}=\frac12\vec a,\quad \overrightarrow{OM}=\frac12\vec b,\quad \overrightarrow{ON}=\frac12\vec c, $$

$$ \overrightarrow{OP}=\frac12(\vec b+\vec c),\quad \overrightarrow{OQ}=\frac12(\vec c+\vec a),\quad \overrightarrow{OR}=\frac12(\vec a+\vec b) $$

である。

したがって

$$ \vec p=\overrightarrow{LP} =\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OL} =\frac{-\vec a+\vec b+\vec c}{2}, $$

$$ \vec q=\overrightarrow{MQ} =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OM} =\frac{\vec a-\vec b+\vec c}{2}, $$

$$ \vec r=\overrightarrow{NR} =\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{ON} =\frac{\vec a+\vec b-\vec c}{2} $$

となる。

（1）線分 $LP,\ MQ,\ NR$ は 1 点で交わることの証明

線分 $LP$ の中点の位置ベクトルは

$$ \frac{\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OP}}{2} ================================================= # \frac{\frac12\vec a+\frac12(\vec b+\vec c)}{2} \frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4} $$

である。

同様に、線分 $MQ$ の中点の位置ベクトルは

$$ \frac{\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OQ}}{2} ================================================= # \frac{\frac12\vec b+\frac12(\vec c+\vec a)}{2} \frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}, $$

線分 $NR$ の中点の位置ベクトルも

$$ \frac{\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OR}}{2} ================================================= # \frac{\frac12\vec c+\frac12(\vec a+\vec b)}{2} \frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4} $$

である。

よって $LP,\ MQ,\ NR$ はすべて同じ中点

$$ G\left(\overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}\right) $$

をもつ。したがって 3 本は 1 点 $G$ で交わる。

（2） $\vec a,\vec b,\vec c$ を $\vec p,\vec q,\vec r$ で表す

先ほど得た式

$$ 2\vec p=-\vec a+\vec b+\vec c,\quad 2\vec q=\vec a-\vec b+\vec c,\quad 2\vec r=\vec a+\vec b-\vec c $$

を用いる。

第 2 式と第 3 式を加えると

$$ 2\vec q+2\vec r=2\vec a $$

より

$$ \vec a=\vec q+\vec r $$

である。

同様に、第 3 式と第 1 式を加えると

$$ \vec b=\vec r+\vec p, $$

第 1 式と第 2 式を加えると

$$ \vec c=\vec p+\vec q $$

となる。

したがって

$$ \vec a=\vec q+\vec r,\quad \vec b=\vec r+\vec p,\quad \vec c=\vec p+\vec q $$

である。

（3）体積を $|\vec p|,\ |\vec q|,\ |\vec r|$ で表す

$X$ は

$$ \overrightarrow{AX}=\overrightarrow{LP}=\vec p $$

を満たす点であるから

$$ \overrightarrow{OX} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX} =\vec a+\vec p =(\vec q+\vec r)+\vec p =\vec p+\vec q+\vec r $$

である。

四面体 $XABC$ の体積は

$$ V=\frac16\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AX}]\right| $$

で与えられる。

ここで

$$ \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=(\vec r+\vec p)-(\vec q+\vec r)=\vec p-\vec q, $$

$$ \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=(\vec p+\vec q)-(\vec q+\vec r)=\vec p-\vec r, $$

$$ \overrightarrow{AX}=\vec p $$

であるから

$$ V=\frac16\left|[\vec p-\vec q,\ \vec p-\vec r,\ \vec p]\right|. $$

混合積の線形性より

$$ [\vec p-\vec q,\ \vec p-\vec r,\ \vec p] ======================================== # [\vec p,\vec p-\vec r,\vec p]-[\vec q,\vec p-\vec r,\vec p] [\vec q,\vec r,\vec p]. $$

したがって

$$ V=\frac16\left|[\vec q,\vec r,\vec p]\right|. $$

いま、直線 $LP,\ MQ,\ NR$ が互いに直交するので、その方向ベクトルである $\vec p,\vec q,\vec r$ も互いに直交する。よって混合積の絶対値は

$$ \left|[\vec q,\vec r,\vec p]\right|=|\vec p|,|\vec q|,|\vec r| $$

となる。

ゆえに

$$ V=\frac16|\vec p|,|\vec q|,|\vec r| $$

である。