東北大学 2022年 文系 第4問 解説

方針・初手

まず，3点 $O,A,B$ を含む平面の法線ベクトルを求める。 平面の方程式が分かれば，点と平面の距離公式を用いて （1） の点 $H$，（2） の点 $C$ から平面までの距離が求まる。 さらに （3） は

$$ \text{体積}=\frac13\times \text{底面積}\times \text{高さ} $$

で処理すればよい。

解法1

点

$$ A(1,\sqrt2,\sqrt3),\quad B(-\sqrt3,0,1) $$

より，

$$ \overrightarrow{OA}=(1,\sqrt2,\sqrt3),\quad \overrightarrow{OB}=(-\sqrt3,0,1) $$

である。

したがって，平面 $OAB$ の法線ベクトルは

$$ \overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB} ============================================= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\ 1 & \sqrt2 & \sqrt3\ -\sqrt3 & 0 & 1 \end{vmatrix} =(\sqrt2,-4,\sqrt6) $$

となる。

よって，平面 $OAB$ の方程式は

$$ \sqrt2,x-4y+\sqrt6,z=0 $$

である。

また，法線ベクトルの大きさは

$$ \sqrt{(\sqrt2)^2+(-4)^2+(\sqrt6)^2} =\sqrt{2+16+6} =\sqrt{24} =2\sqrt6 $$

である。

（1） $H$ の座標

平面

$$ \sqrt2,x-4y+\sqrt6,z=0 $$

からの距離が $1$ である点 $(x,y,z)$ は

$$ \frac{|\sqrt2,x-4y+\sqrt6,z|}{2\sqrt6}=1 $$

を満たす。

点 $O$ に最も近いのは，平面に下ろした垂線上にある点である。したがって $H$ は法線ベクトル $(\sqrt2,-4,\sqrt6)$ の方向にあり，

$$ H=t(\sqrt2,-4,\sqrt6)\qquad (t>0) $$

と書ける。これを距離条件に代入すると

$$ \frac{|t{(\sqrt2)^2+(-4)^2+(\sqrt6)^2}|}{2\sqrt6} ================================================= \frac{|24t|}{2\sqrt6} =1 $$

より

$$ |t|=\frac{\sqrt6}{12} $$

である。さらに $x$ 座標が正であるから $t=\dfrac{\sqrt6}{12}$ をとる。

よって

$$ H=\frac{\sqrt6}{12}(\sqrt2,-4,\sqrt6) =\left(\frac{\sqrt3}{6},-\frac{\sqrt6}{3},\frac12\right) $$

となる。

（2） 平面 $OAB$ と点 $C$ の距離

点

$$ C(\sqrt6,-\sqrt3,\sqrt2) $$

から平面 $\sqrt2,x-4y+\sqrt6,z=0$ までの距離 $d$ は

$$ d= \frac{|\sqrt2\cdot\sqrt6-4(-\sqrt3)+\sqrt6\cdot\sqrt2|}{2\sqrt6} $$

である。

分子は

$$ \sqrt{12}+4\sqrt3+\sqrt{12} =2\sqrt3+4\sqrt3+2\sqrt3 =8\sqrt3 $$

だから，

$$ d=\frac{8\sqrt3}{2\sqrt6} =\frac{4\sqrt3}{\sqrt6} =\frac{4}{\sqrt2} =2\sqrt2 $$

となる。

（3） 四面体 $OABC$ の体積

底面を三角形 $OAB$ とすると，その面積は

$$ \frac12|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}| =\frac12\cdot 2\sqrt6 =\sqrt6 $$

である。

また，高さは （2） より

$$ 2\sqrt2 $$

である。

したがって，四面体 $OABC$ の体積 $V$ は

$$ V=\frac13\cdot \sqrt6\cdot 2\sqrt2 =\frac13\cdot 2\sqrt{12} =\frac13\cdot 4\sqrt3 =\frac{4\sqrt3}{3} $$

となる。

解説

この問題の要点は，平面 $OAB$ をまず正確に求めることである。 原点を通る平面なので，法線ベクトルさえ求まれば方程式はすぐに立つ。

（1） では「平面からの距離が一定の点のうち原点に最も近い点」は，その平面への垂線上にあることが重要である。したがって法線ベクトルの方向に点をおけばよい。

（2） は標準的な点と平面の距離公式である。

（3） は底面積を外積で，高さを （2） の結果で出すのが最も自然である。行列式

$$ V=\frac16|\det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})| $$

で求めても同じ結果になる。

答え

$$ \text{(1)}\quad H\left(\frac{\sqrt3}{6},-\frac{\sqrt6}{3},\frac12\right) $$

$$ \text{(2)}\quad 2\sqrt2 $$

$$ \text{(3)}\quad \frac{4\sqrt3}{3} $$