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京都大学 1993年文系第2問解説

方針・初手

位置ベクトルを用いて各点の座標（ベクトル）を表現します。計算を簡略化するため、空間内の点 $P$ を始点とするベクトル $\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}, \overrightarrow{PC}, \overrightarrow{PD}$ を設定します。三角形の重心および線分の中点のベクトル表示の公式を用いて、各辺のベクトルを計算し比較します。 (2) では、四辺形 $ABCD$ とその各辺の中点を結んでできる四辺形 $IJKL$ の面積比が $2:1$ になるという一般的な平面図形の性質と、(1) で得られた相似比を利用します。

解法1

(1)

点 $P$ を始点とし、$\overrightarrow{PA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{PB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{PC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{PD} = \vec{d}$ とおく。点 $E, F, G, H$ はそれぞれ $\triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCD, \triangle PDA$ の重心であるから、

$$ \overrightarrow{PE} = \frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}) $$

$$ \overrightarrow{PF} = \frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}) $$

$$ \overrightarrow{PG} = \frac{1}{3}(\vec{c}+\vec{d}) $$

$$ \overrightarrow{PH} = \frac{1}{3}(\vec{d}+\vec{a}) $$

と表せる。また、点 $I, J, K, L$ はそれぞれ線分 $AB, BC, CD, DA$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{PI} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}) $$

$$ \overrightarrow{PJ} = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}) $$

$$ \overrightarrow{PK} = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}) $$

$$ \overrightarrow{PL} = \frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a}) $$

と表せる。ここで、四辺形 $EFGH$ の各辺のベクトルを計算すると、

$$ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{PF} - \overrightarrow{PE} = \frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}) - \frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{a}) $$

$$ \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{PG} - \overrightarrow{PH} = \frac{1}{3}(\vec{c}+\vec{d}) - \frac{1}{3}(\vec{d}+\vec{a}) = \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{a}) $$

となり、$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$ が成り立つ。したがって、1組の対辺が平行で長さが等しいため、四辺形 $EFGH$ は平行四辺形である。

同様に、四辺形 $IJKL$ の各辺のベクトルを計算すると、

$$ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{PJ} - \overrightarrow{PI} = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}) - \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a}) $$

$$ \overrightarrow{LK} = \overrightarrow{PK} - \overrightarrow{PL} = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}) - \frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{a}) = \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a}) $$

となり、$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}$ が成り立つ。したがって、四辺形 $IJKL$ も平行四辺形である。

さらに、$\overrightarrow{EF}$ と $\overrightarrow{IJ}$ の関係を調べると、

$$ \overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{IJ} $$

となる。他の辺についても同様に計算すると、

$$ \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{PG} - \overrightarrow{PF} = \frac{1}{3}(\vec{d} - \vec{b}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{d} - \vec{b}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{JK} $$

$$ \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{PH} - \overrightarrow{PG} = \frac{1}{3}(\vec{a} - \vec{c}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{c}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{KL} $$

$$ \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{PE} - \overrightarrow{PH} = \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{d}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{d}) = \frac{2}{3} \overrightarrow{LI} $$

となり、$k = \frac{2}{3}$ （正の定数）とすると、 $\overrightarrow{EF} = k\overrightarrow{IJ}$, $\overrightarrow{FG} = k\overrightarrow{JK}$, $\overrightarrow{GH} = k\overrightarrow{KL}$, $\overrightarrow{HE} = k\overrightarrow{LI}$ を満たすことが示された。

(2)

四辺形 $ABCD$ の面積を $S$ とする。対角線 $AC$ で分割して考える。中点連結定理より、$\triangle ABC$ と $\triangle IBJ$ において相似比は $2:1$ であるから、面積比は $4:1$ となる。よって、$\triangle IBJ = \frac{1}{4} \triangle ABC$ である。同様に、$\triangle KDL = \frac{1}{4} \triangle ACD$ であるから、この2つの三角形の面積の和は、

$$ \triangle IBJ + \triangle KDL = \frac{1}{4} (\triangle ABC + \triangle ACD) = \frac{1}{4} S $$

また、対角線 $BD$ で分割して考えると、$\triangle IAL = \frac{1}{4} \triangle ABD$、$\triangle JCK = \frac{1}{4} \triangle BCD$ であり、

$$ \triangle IAL + \triangle JCK = \frac{1}{4} (\triangle ABD + \triangle BCD) = \frac{1}{4} S $$

となる。四辺形 $IJKL$ の面積は、四辺形 $ABCD$ の面積 $S$ からこれら外側の4つの三角形の面積を引いたものであるから、

$$ (四辺形 IJKLの面積) = S - \left( \frac{1}{4}S + \frac{1}{4}S \right) = \frac{1}{2} S $$

となる。

次に、（1）で示した通り、四辺形 $EFGH$ と四辺形 $IJKL$ は、各辺のベクトルが向きを同じくし、長さが $\frac{2}{3}$ 倍となっている。したがって、四辺形 $EFGH$ と四辺形 $IJKL$ は相似であり、その相似比は $\frac{2}{3} : 1 = 2 : 3$ である。面積比は相似比の2乗になるため、

$$ (四辺形 EFGHの面積) = \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times (四辺形 IJKLの面積) = \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} S = \frac{2}{9} S $$

となる。

以上より、四辺形 $ABCD$ と平行四辺形 $EFGH$ の面積の比は、

$$ S : \frac{2}{9}S = 9 : 2 $$

である。

解説

空間図形の問題ですが、扱う対象は「位置ベクトル」にすぎません。問題文で与えられた通りに素直に始点を定めてベクトルを立式すれば、(1)は単なる計算問題に帰着します。四角形が平行四辺形になる条件は「1組の対辺が平行で長さが等しい」すなわち「向かい合う辺のベクトルが等しい」ことを示すのが最も簡明です。 (2) は平面図形の有名な性質「任意の四角形の各辺の中点を結んでできる図形は、面積が元の半分の平行四辺形になる（ヴァリニョンの定理）」を背景としています。これを対角線による分割を利用して面積計算しつつ、(1)で求めた相似比から全体と部分の面積比を導きます。