トップ› 東北大学› 1999年› 文系第4問

東北大学 1999年文系第4問解説

方針・初手

(1)、(2) ともに、2次方程式の解と係数の関係を利用する。与えられた方程式 $x^2 - px + 5p = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より以下の等式が成り立つ。

$$ \alpha + \beta = p $$

$$ \alpha \beta = 5p $$

(1) は、基本対称式から $\alpha^5 + \beta^5$ を $p$ で表し、条件式に代入して $p$ の方程式を解く。 (2) は、実数係数方程式が虚数解をもつので、判別式から $p$ の範囲を絞る。さらに、2つの解が互いに共役な複素数になることを利用し、「$\alpha^5$ が実数」という条件を $\alpha^5 = \bar{\alpha}^5$ （すなわち $\alpha^5 = \beta^5$）と言い換えて処理する。極形式を用いるアプローチも有効である。

解法1

(1)

$\alpha^2 + \beta^2$ および $\alpha^3 + \beta^3$ を $p$ で表す。

$$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = p^2 - 10p $$

$$ \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = p^3 - 15p^2 $$

これらを用いて $\alpha^5 + \beta^5$ を計算する。

$$ \alpha^5 + \beta^5 = (\alpha^2 + \beta^2)(\alpha^3 + \beta^3) - \alpha^2\beta^2(\alpha + \beta) $$

$$ = (p^2 - 10p)(p^3 - 15p^2) - (5p)^2 \cdot p $$

$$ = p^5 - 15p^4 - 10p^4 + 150p^3 - 25p^3 $$

$$ = p^5 - 25p^4 + 125p^3 $$

条件より $\alpha^5 + \beta^5 = p^5$ であるから、

$$ p^5 - 25p^4 + 125p^3 = p^5 $$

$$ -25p^4 + 125p^3 = 0 $$

$$ -25p^3(p - 5) = 0 $$

$p$ は $0$ でない実数であるから $p \neq 0$ となり、

$$ p = 5 $$

(2)

2次方程式 $x^2 - px + 5p = 0$ が虚数解をもつので、判別式を $D$ とすると $D < 0$ である。

$$ D = p^2 - 20p = p(p - 20) < 0 $$

よって、$p$ の満たすべき条件は

$$ 0 < p < 20 $$

方程式は実数係数であるから、虚数解を $\alpha$ とすると、もう一つの解 $\beta$ は $\alpha$ と互いに共役な複素数 ($\beta = \bar{\alpha}$) となる。 $\alpha^5$ が実数であるための条件は、$\alpha^5$ とその共役複素数が等しいことである。

$$ \alpha^5 = \overline{\alpha^5} = (\bar{\alpha})^5 = \beta^5 $$

したがって、$\alpha^5 - \beta^5 = 0$ が成り立つ。この左辺を因数分解すると、

$$ (\alpha - \beta)(\alpha^4 + \alpha^3\beta + \alpha^2\beta^2 + \alpha\beta^3 + \beta^4) = 0 $$

$\alpha, \beta$ は互いに共役な虚数解であるため $\alpha \neq \beta$ であり、$\alpha - \beta \neq 0$ である。ゆえに、

$$ \alpha^4 + \alpha^3\beta + \alpha^2\beta^2 + \alpha\beta^3 + \beta^4 = 0 $$

この式の左辺を対称式として変形する。

$$ \alpha^4 + \beta^4 + \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2) + \alpha^2\beta^2 $$

$$ = \{ (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2\alpha^2\beta^2 \} + \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2) + \alpha^2\beta^2 $$

$$ = (\alpha^2 + \beta^2)^2 + \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2) - \alpha^2\beta^2 $$

これに $\alpha^2 + \beta^2 = p^2 - 10p$, $\alpha\beta = 5p$ を代入する。

$$ (p^2 - 10p)^2 + 5p(p^2 - 10p) - (5p)^2 = 0 $$

展開して整理する。

$$ p^4 - 20p^3 + 100p^2 + 5p^3 - 50p^2 - 25p^2 = 0 $$

$$ p^4 - 15p^3 + 25p^2 = 0 $$

$$ p^2(p^2 - 15p + 25) = 0 $$

$p \neq 0$ であるから、$p^2 - 15p + 25 = 0$ となる。これを解いて、

$$ p = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 25}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{125}}{2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{5}}{2} $$

ここで、$2 < \sqrt{5} < 3$ より $10 < 5\sqrt{5} < 15$ であるから、 $0 < \frac{15 - 5\sqrt{5}}{2} < \frac{15}{2} = 7.5$ $12.5 = \frac{25}{2} < \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2} < \frac{30}{2} = 15$ となり、いずれも $0 < p < 20$ の条件を満たす。

解法2

(2) の別解（極形式の利用）

2次方程式が虚数解をもつための条件から、$0 < p < 20$ である。解 $\alpha$ は虚数であるから、極形式で $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r > 0, \sin\theta \neq 0$) とおける。解と係数の関係より、2つの解は $\alpha$ と $\bar{\alpha}$ であるから、

$$ \alpha\bar{\alpha} = |\alpha|^2 = r^2 = 5p $$

$$ \alpha + \bar{\alpha} = 2r\cos\theta = p $$

$\alpha^5$ が実数となる条件を考える。ド・モアブルの定理より、

$$ \alpha^5 = r^5(\cos5\theta + i\sin5\theta) $$

これが実数となるため、その虚部は $0$ である。

$$ r^5\sin5\theta = 0 $$

$r > 0$ より $\sin5\theta = 0$。ここで、二項定理を用いて $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$ を展開して虚部を比較することで、$\sin5\theta$ を変形する。

$$ \sin5\theta = \text{Im}(\cos\theta + i\sin\theta)^5 $$

$$ = 5\cos^4\theta\sin\theta - 10\cos^2\theta\sin^3\theta + \sin^5\theta $$

$$ = \sin\theta \{ 5\cos^4\theta - 10\cos^2\theta(1 - \cos^2\theta) + (1 - \cos^2\theta)^2 \} $$

$$ = \sin\theta ( 5\cos^4\theta - 10\cos^2\theta + 10\cos^4\theta + 1 - 2\cos^2\theta + \cos^4\theta ) $$

$$ = \sin\theta ( 16\cos^4\theta - 12\cos^2\theta + 1 ) $$

したがって、方程式は $\sin\theta ( 16\cos^4\theta - 12\cos^2\theta + 1 ) = 0$ となる。虚数解をもつ条件より $\sin\theta \neq 0$ であるから、

$$ 16\cos^4\theta - 12\cos^2\theta + 1 = 0 $$

一方、$r^2 = 5p$ と $2r\cos\theta = p$ より、

$$ \cos^2\theta = \frac{p^2}{4r^2} = \frac{p^2}{4 \cdot 5p} = \frac{p}{20} $$

これを $\cos\theta$ の方程式に代入する。

$$ 16 \left( \frac{p}{20} \right)^2 - 12 \left( \frac{p}{20} \right) + 1 = 0 $$

$$ 16 \cdot \frac{p^2}{400} - \frac{3p}{5} + 1 = 0 $$

$$ \frac{p^2}{25} - \frac{3p}{5} + 1 = 0 $$

両辺に $25$ を掛けると、

$$ p^2 - 15p + 25 = 0 $$

解法1と同様にこれを解いて $p = \frac{15 \pm 5\sqrt{5}}{2}$ となり、$0 < p < 20$ を満たす。

解説

(1) は対称式の計算の典型問題である。5次式の場合は、$(\alpha^2 + \beta^2)(\alpha^3 + \beta^3)$ を展開して $\alpha^5 + \beta^5$ を作り出す手法が定石となる。

(2) は「複素数の $n$ 乗が実数」という条件の処理能力が問われている。解法1のように共役複素数の性質から $\alpha^5 = \bar{\alpha}^5$ と立式し、対称式の計算に持ち込むのは代数的なアプローチとして確実である。ここで $\alpha - \beta \neq 0$ で割る操作を忘れないことが重要となる。解法2のように、複素数の累乗という特徴から極形式（ド・モアブルの定理）を連想するのも自然な発想である。実部・虚部を三角関数で表し、多倍角の公式（あるいは二項展開）を用いて処理することで、簡潔に方程式を導くことができる。

また、どちらの解法においても、虚数解をもつための判別式の条件（$0 < p < 20$）を満たすかどうかの確認を怠らないようにしたい。