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東北大学 2001年理系第4問解説

方針・初手

中点の位置ベクトルをまず書き下すと、$\vec p,\vec q,\vec r$ が $\vec a,\vec b,\vec c$ で簡潔に表せる。

そこから

$$ \vec p+\vec q=\vec c,\qquad \vec q+\vec r=\vec a,\qquad \vec r+\vec p=\vec b $$

が得られ、(1) の共点性と (2) の逆表示が同時に見えてくる。

(3) では、$\vec p,\vec q,\vec r$ が互いに直交するので、これらを基準にして体積を三重積で計算すればよい。

解法1

各点の位置ベクトルは、中点の定義より

$$ \overrightarrow{OL}=\frac{\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{OM}=\frac{\vec b}{2},\qquad \overrightarrow{ON}=\frac{\vec c}{2}, $$

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \overrightarrow{OQ}=\frac{\vec c+\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{OR}=\frac{\vec a+\vec b}{2} $$

である。

したがって

$$ \vec p=\overrightarrow{LP} =\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OL} =\frac{\vec b+\vec c-\vec a}{2}, $$

$$ \vec q=\overrightarrow{MQ} =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OM} =\frac{\vec c+\vec a-\vec b}{2}, $$

$$ \vec r=\overrightarrow{NR} =\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{ON} =\frac{\vec a+\vec b-\vec c}{2} $$

となる。

（1）線分 $LP,MQ,NR$ は1点で交わることの証明

点 $G$ を

$$ \overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4} $$

で定める。

このとき

$$ \overrightarrow{LG} =\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OL} =\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}-\frac{\vec a}{2} =\frac{-\vec a+\vec b+\vec c}{4} =\frac{\vec p}{2}. $$

よって $G$ は線分 $LP$ 上にある。

同様に

$$ \overrightarrow{MG} =\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}-\frac{\vec b}{2} =\frac{\vec a-\vec b+\vec c}{4} =\frac{\vec q}{2}, $$

$$ \overrightarrow{NG} =\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{4}-\frac{\vec c}{2} =\frac{\vec a+\vec b-\vec c}{4} =\frac{\vec r}{2} $$

であるから、$G$ は線分 $MQ,NR$ 上にもある。

したがって、線分 $LP,MQ,NR$ は $G$ で交わる。

（2） $\vec a,\vec b,\vec c$ を $\vec p,\vec q,\vec r$ で表す

上で得た式を加えると

$$ \vec p+\vec q =\frac{\vec b+\vec c-\vec a+\vec c+\vec a-\vec b}{2} =\vec c, $$

同様に

$$ \vec q+\vec r=\vec a,\qquad \vec r+\vec p=\vec b $$

となる。

よって

$$ \vec a=\vec q+\vec r,\qquad \vec b=\vec r+\vec p,\qquad \vec c=\vec p+\vec q $$

である。

（3）体積を $|\vec p|,|\vec q|,|\vec r|$ で表す

仮定より、直線 $LP,MQ,NR$ が互いに直交するから、$\vec p,\vec q,\vec r$ は互いに直交する。

まず、点 $X$ は $\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{LP}=\vec p$ を満たすから

$$ \overrightarrow{OX} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX} =\vec a+\vec p =(\vec q+\vec r)+\vec p =\vec p+\vec q+\vec r. $$

四面体 $XABC$ の体積

四面体 $XABC$ の体積を $V_{XABC}$ とすると

$$ V_{XABC} =\frac16\left|(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AX})\right|. $$

ここで

$$ \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=(\vec r+\vec p)-(\vec q+\vec r)=\vec p-\vec q, $$

$$ \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=(\vec p+\vec q)-(\vec q+\vec r)=\vec p-\vec r, $$

$$ \overrightarrow{AX}=\vec p $$

であるから

$$ V_{XABC} =\frac16\left|(\vec p-\vec q,\ \vec p-\vec r,\ \vec p)\right|. $$

三重積の双線形性を用いると

$$ (\vec p-\vec q,\ \vec p-\vec r,\ \vec p) =(\vec q,\vec r,\vec p). $$

よって

$$ V_{XABC} =\frac16|(\vec q,\vec r,\vec p)|. $$

$\vec p,\vec q,\vec r$ は互いに直交するので

$$ |(\vec q,\vec r,\vec p)|=|\vec p|,|\vec q|,|\vec r|. $$

したがって

$$ V_{XABC}=\frac{|\vec p|,|\vec q|,|\vec r|}{6}. $$

四面体 $OABC$ の体積

四面体 $OABC$ の体積を $V_{OABC}$ とすると

$$ V_{OABC}=\frac16|(\vec a,\vec b,\vec c)|. $$

(2) より

$$ \vec a=\vec q+\vec r,\qquad \vec b=\vec r+\vec p,\qquad \vec c=\vec p+\vec q $$

だから

$$ (\vec a,\vec b,\vec c) =(\vec q+\vec r,\ \vec r+\vec p,\ \vec p+\vec q). $$

$\vec p,\vec q,\vec r$ を基底とみると、$\vec a,\vec b,\vec c$ の成分はそれぞれ

$$ \vec a=(0,1,1),\qquad \vec b=(1,0,1),\qquad \vec c=(1,1,0) $$

である。したがって

$$ (\vec a,\vec b,\vec c) ====================== \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1\ 1 & 0 & 1\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} (\vec p,\vec q,\vec r) =2(\vec p,\vec q,\vec r). $$

よって

$$ V_{OABC} =\frac16\cdot 2|(\vec p,\vec q,\vec r)| =\frac13|\vec p|,|\vec q|,|\vec r|. $$