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九州大学 2000年文系第8問解説

方針・初手

与えられたベクトル方程式を変形し、点 $P$ の軌跡を明らかにする。 (1) 式の一部である $\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP}$ に着目し、線分 $BC$ を内分する点の位置ベクトルを利用して式を整理する。 (2) 空間内の点が平面上にある条件、すなわち「位置ベクトルを $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ で表したときの係数の和が $1$ になること」を確認する。 (3) 四面体の底面を $\triangle ABC$ とみたとき、体積が最大となるのは高さが最大となるときである。点 $P$ の軌跡である球面と平面 $ABC$ の位置関係を考慮して最大高さを求める。

解法1

(1)

空間の任意の点を原点 $O$ とし、点 $A, B, C, P$ の位置ベクトルを考える。線分 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $D$ とおくと、点 $D$ の位置ベクトルは、

$$\overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}}{3}$$

となる。これを変形すると、

$$3\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}$$

が成り立つ。一方、問題で与えられた式の一部 $\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP}$ を点 $D$ を経由する形に書き換えると、

$$\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP} = (\overrightarrow{DP} - \overrightarrow{DB}) + 2(\overrightarrow{DP} - \overrightarrow{DC}) = 3\overrightarrow{DP} - (\overrightarrow{DB} + 2\overrightarrow{DC})$$

ここで、点 $D$ は線分 $BC$ を $2:1$ に内分する点であるため、$\overrightarrow{DB} + 2\overrightarrow{DC} = \vec{0}$ である。したがって、

$$\overrightarrow{BP} + 2\overrightarrow{CP} = 3\overrightarrow{DP}$$

となる。これを問題の条件式に代入すると、

$$\overrightarrow{AP} \cdot (3\overrightarrow{DP}) = 0$$

$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{DP} = 0$$

この方程式は、点 $P$ が線分 $AD$ を直径とする球面上にあることを示している。したがって、点 $P$ は線分 $AD$ の中点 $Q$ から一定の距離（線分 $AD$ の長さの半分）にある。よって題意は示された。

(2)

(1)より、定点 $Q$ は線分 $AD$ の中点であるから、

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}}{2}$$

ここで、$\overrightarrow{OD} = \frac{\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}}{3}$ を代入すると、

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \left( \frac{\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}}{3} \right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{6} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OC}$$

となる。右辺の係数の和を計算すると、

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 1$$

係数の和が $1$ となるため、点 $Q$ は3点 $A$, $B$, $C$ を通る平面上にある。

(3)

四面体 $ABCP$ の体積 $V$ は、底面を $\triangle ABC$、平面 $ABC$ から点 $P$ までの高さを $h$ とすると、

$$V = \frac{1}{3} \times (\triangle ABC\text{の面積}) \times h$$

と表せる。底面 $\triangle ABC$ は固定されているため、体積 $V$ が最大となるのは高さ $h$ が最大となるときである。点 $P$ は、中心 $Q$、半径 $r = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AD}|$ の球面上を動く。 (2)より球の中心 $Q$ は平面 $ABC$ 上にあるため、この球面は平面 $ABC$ を大円で交差している。したがって、球面上の点 $P$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さ（高さ $h$）が最大となるのは、その長さが球の半径 $r$ に等しいときである。まず、半径 $r$ を求めるために、点 $D$ の座標を計算する。

$$\overrightarrow{OD} = \frac{(0, 2, 0) + 2(0, 0, 3)}{3} = \frac{(0, 2, 6)}{3} = \left(0, \frac{2}{3}, 2\right)$$

これより、ベクトル $\overrightarrow{AD}$ の成分は、

$$\overrightarrow{AD} = \left(0, \frac{2}{3}, 2\right) - (1, 0, 0) = \left(-1, \frac{2}{3}, 2\right)$$

長さ $|\overrightarrow{AD}|$ を計算すると、

$$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + \frac{4}{9} + 4} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{7}{3}$$

よって、球の半径すなわち高さの最大値 $h$ は、

$$h = r = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AD}| = \frac{7}{6}$$

次に、底面 $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

$$\overrightarrow{AB} = (0, 2, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 2, 0)$$

$$\overrightarrow{AC} = (0, 0, 3) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 3)$$

それぞれの大きさの2乗と内積を計算する。

$$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + 2^2 + 0^2 = 5$$

$$|\overrightarrow{AC}|^2 = (-1)^2 + 0^2 + 3^2 = 10$$

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 1$$

三角形の面積の公式より、

$$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{5 \cdot 10 - 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{49} = \frac{7}{2}$$

以上より、四面体 $ABCP$ の体積の最大値 $V_{\max}$ は、

$$V_{\max} = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{6} = \frac{49}{36}$$

解説

ベクトル方程式が表す図形（特に球面）を正確に読み解けるかがポイントとなる問題である。 (1)では、内分点の位置ベクトルを用いて式を簡略化し、$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{DP} = 0$ の形に持ち込むことが定番の手法である。内積が $0$ であることは、線分を直径とする球面であることを意味する。 (2)は、共面条件である「位置ベクトルの係数の和が $1$」を利用する。 (3)は、四面体の体積の最大化を考える上で、「固定された底面」と「動点 $P$ による高さ」に分離して考えることが重要である。球の中心が底面を含む平面上にあるという(2)の誘導により、高さの最大値がそのまま球の半径となることに気づけると計算の見通しが良くなる。