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東北大学 2003年文系第1問解説

方針・初手

$t=\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta$ は合成すると

$$ t=2\cos(\theta-60^\circ) $$

となる。そこで

$$ \varphi=\theta-60^\circ $$

とおけば、$t=2\cos\varphi$ となり、$\cos3\theta,\ \cos2\theta-\sqrt{3}\sin2\theta$ を $\varphi$ で書き直してから $t$ に戻せばよい。

解法1

$\varphi=\theta-60^\circ$ とおくと、

$$ t=2\cos\varphi $$

である。

（1） $\cos3\theta$ を $t$ の関数で表す

$\theta=\varphi+60^\circ$ より、

$$ 3\theta=3\varphi+180^\circ $$

だから、

$$ \cos3\theta=\cos(3\varphi+180^\circ)=-\cos3\varphi $$

である。ここで三倍角の公式より

$$ \cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi $$

であり、$\cos\varphi=\dfrac{t}{2}$ なので、

$$ \cos3\theta =-\left{4\left(\frac{t}{2}\right)^3-3\left(\frac{t}{2}\right)\right} =-\left(\frac{t^3}{2}-\frac{3t}{2}\right) =\frac{3t-t^3}{2} $$

したがって、

$$ \cos3\theta=\frac{3t-t^3}{2} $$

である。

（2） $y$ を $t$ の関数で表す

まず、

$$ \cos2\theta-\sqrt{3}\sin2\theta =2\cos(2\theta+60^\circ) $$

である。また $\theta=\varphi+60^\circ$ より

$$ 2\theta+60^\circ=2\varphi+180^\circ $$

だから、

$$ \cos2\theta-\sqrt{3}\sin2\theta =2\cos(2\varphi+180^\circ) =-2\cos2\varphi $$

となる。さらに

$$ \cos2\varphi=2\cos^2\varphi-1 =2\left(\frac{t}{2}\right)^2-1 =\frac{t^2}{2}-1 $$

より、

$$ \cos2\theta-\sqrt{3}\sin2\theta =-2\left(\frac{t^2}{2}-1\right) =2-t^2 $$

である。

また、$t=\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta$ なので、

$$ 2\cos\theta+2\sqrt{3}\sin\theta=2t $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} y &=-4\cos3\theta+\left(\cos2\theta-\sqrt{3}\sin2\theta\right) +2\cos\theta+2\sqrt{3}\sin\theta \\ &=-4\cdot \frac{3t-t^3}{2}+(2-t^2)+2t \\ &=-2(3t-t^3)+2-t^2+2t \\ &=2t^3-t^2-4t+2 \end{aligned} $$

ゆえに、

$$ y=2t^3-t^2-4t+2 $$

である。

（3） $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のときの最大値・最小値

$\theta$ の範囲から、

$$ -60^\circ\leqq\varphi\leqq120^\circ $$

である。したがって

$$ t=2\cos\varphi $$

の取りうる範囲は

$$ -1\leqq t\leqq 2 $$

である。

よって、$y=2t^3-t^2-4t+2$ を $-1\leqq t\leqq2$ で調べればよい。

微分すると、

$$ y'=6t^2-2t-4=2(3t^2-t-2)=2(3t+2)(t-1) $$

であるから、臨界点は

$$ t=1,\ -\frac{2}{3} $$

である。端点も含めて値を調べると、

$$ \begin{aligned} y(-1)&=2(-1)^3-(-1)^2-4(-1)+2=3,\\ y\left(-\frac23\right)&=2\left(-\frac23\right)^3-\left(-\frac23\right)^2-4\left(-\frac23\right)+2=\frac{98}{27},\\ y(1)&=2-1-4+2=-1,\\ y(2)&=16-4-8+2=6 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \text{最大値 }6,\qquad \text{最小値 }-1 $$

である。

あとはそのときの $\theta$ を求める。

最大値 $6$ のとき

$t=2$ であるから、

$$ 2\cos(\theta-60^\circ)=2 $$

すなわち

$$ \cos(\theta-60^\circ)=1 $$

より、

$$ \theta-60^\circ=0^\circ $$

である。したがって

$$ \theta=60^\circ $$

である。

最小値 $-1$ のとき

$t=1$ であるから、

$$ 2\cos(\theta-60^\circ)=1 $$

すなわち

$$ \cos(\theta-60^\circ)=\frac12 $$

より、$-60^\circ\leqq\theta-60^\circ\leqq120^\circ$ の範囲で

$$ \theta-60^\circ=\pm 60^\circ $$

となる。よって

$$ \theta=0^\circ,\ 120^\circ $$

である。

解説

この問題の要点は、$\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta$ を合成して $2\cos(\theta-60^\circ)$ に直すことである。こうすると、新しい角 $\varphi=\theta-60^\circ$ によって三倍角・二倍角の公式がそのまま使え、すべてを $t=2\cos\varphi$ の式に落とし込める。

また、（3）では $\theta$ の範囲をそのまま扱うのではなく、まず $t$ の範囲に直してから三次関数 $y=2t^3-t^2-4t+2$ の最大最小を調べるのが自然である。媒介変数表示の問題では、このように「先に媒介変数を1つの文字にまとめる」方針が有効である。