東北大学 2003年 文系 第4問 解説

方針・初手

A に到着してから C に到着するまでの時間を

$$ T=X+Y+U+Z $$

とおく。

ここで、$X$ はバス停 $A$ での待ち時間、$Y$ は $A$ 発 $B$ 行きの乗車時間、$U$ はバス停 $B$ での乗り換え待ち時間、$Z$ は $B$ 発 $C$ 行きの乗車時間である。

条件 1 より、$A$ 発 $B$ 行きのバスと $B$ 発 $C$ 行きのバスはともに 3 分おきに同時刻で発車する。したがって、$B$ に着いた時刻 $X+Y$ を 3 で割った余りが分かれば、乗り換え待ち時間 $U$ は一意に定まる。まず $X+Y+U$ の値を調べる。

解法1

$X$ の値は $0,1,2$ で、それぞれ確率 $\dfrac13$ である。

また、$Y$ の値は $8,10$ で、それぞれ確率 $\dfrac12$ である。

$Y=8$ のとき

このとき $X+Y=X+8$ である。

• $X=0$ のとき、$X+Y=8 \equiv 2 \pmod 3$ より、次のバスまで 1 分待つので $U=1$
• $X=1$ のとき、$X+Y=9 \equiv 0 \pmod 3$ より、すぐ乗れるので $U=0$
• $X=2$ のとき、$X+Y=10 \equiv 1 \pmod 3$ より、2 分待つので $U=2$

したがって、

$$ X+Y+U= \begin{cases} 9 & (X=0,1)\ 12 & (X=2) \end{cases} $$

となる。

$Y=10$ のとき

このとき $X+Y=X+10$ である。

• $X=0$ のとき、$X+Y=10 \equiv 1 \pmod 3$ より、$U=2$
• $X=1$ のとき、$X+Y=11 \equiv 2 \pmod 3$ より、$U=1$
• $X=2$ のとき、$X+Y=12 \equiv 0 \pmod 3$ より、$U=0$

したがって、いずれの場合も

$$ X+Y+U=12 $$

である。

以上より、

$$ P(X+Y+U=9)=P(X=0,Y=8)+P(X=1,Y=8) $$

であるから、

$$ P(X+Y+U=9)=\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac12=\frac13 $$

また、

$$ P(X+Y+U=12)=1-\frac13=\frac23 $$

となる。

次に、$Z$ は $6,7$ のいずれかで、それぞれ確率 $\dfrac12$ である。しかも条件 2,4,5 より独立であるから、

$$ T=(X+Y+U)+Z $$

より、

$$ P(T=15)=P(X+Y+U=9)P(Z=6)=\frac13\cdot\frac12=\frac16 $$

$$ P(T=16)=P(X+Y+U=9)P(Z=7)=\frac13\cdot\frac12=\frac16 $$

$$ P(T=18)=P(X+Y+U=12)P(Z=6)=\frac23\cdot\frac12=\frac13 $$

$$ P(T=19)=P(X+Y+U=12)P(Z=7)=\frac23\cdot\frac12=\frac13 $$

したがって、これ以外の値をとる確率は 0 である。

解説

この問題の要点は、バスの発車時刻が 3 分おきでそろっているため、$B$ での待ち時間を直接場合分けするのではなく、到着時刻 $X+Y$ の 3 での余りを見ることで整理できる点にある。

特に、$X+Y+U$ が 9 分または 12 分のどちらかにしかならないことが分かれば、その後は最後の乗車時間 $Z=6,7$ を足すだけで分布が求まる。

答え

$$ P(n)= \begin{cases} \dfrac16 & (n=15,16)\ \dfrac13 & (n=18,19)\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases} $$

である。