東北大学 2004年 文系 第1問 解説

方針・初手

まず，放物線 $D:y=-(x-a)^2+b$ が直線 $L:y=x$ に接する条件を用いて $b$ を $a$ で表す。

次に，$C$ と $L$ の交点を求め，その交点を結ぶ線分上に接点があるという条件から $a$ の範囲を決める。

面積は $D-C$ を整理すると対称な形になるので，交点の中点まわりに平行移動して積分すると計算しやすい。

解法1

(1) $b$ を $a$ で表し，$a$ の取り得る値の範囲を求める。

$D$ の接点の $x$ 座標を $t$ とする。 $D$ の導関数は

$$ y'=-2(x-a) $$

であるから，直線 $L:y=x$ の傾き $1$ と一致するためには

$$ -2(t-a)=1 $$

すなわち

$$ t=a-\frac12 $$

でなければならない。

また，接点は $L$ 上にあるので $y=t$ である。一方，この点は $D$ 上にもあるから

$$ -(t-a)^2+b=t $$

である。ここで $t-a=-\dfrac12$ を代入すると

$$ -\frac14+b=a-\frac12 $$

より

$$ b=a-\frac14 $$

を得る。

次に，$C$ と $L$ の交点を求める。 $C:y=x^2-2$ と $L:y=x$ の交点は

$$ x^2-2=x $$

すなわち

$$ x^2-x-2=0 $$

より

$$ x=-1,\ 2 $$

である。したがって交点は $(-1,-1)$，$(2,2)$ であり，それらを結ぶ線分は直線 $y=x$ 上で

$$ -1\le x\le 2 $$

に対応する。

接点の $x$ 座標は $t=a-\dfrac12$ だから，この接点がその線分上にある条件は

$$ -1\le a-\frac12\le 2 $$

である。よって

$$ -\frac12\le a\le \frac52 $$

となる。

(2) 2つの曲線 $C,D$ によって囲まれる図形の面積 $S(a)$ を求める。

(1) より

$$ D:\ y=-(x-a)^2+a-\frac14 $$

である。したがって

$$ D-C=-(x-a)^2+a-\frac14-(x^2-2) $$

これを整理すると

$$ D-C=-2x^2+2ax-a^2+a+\frac74 $$

さらに平方完成して

$$ D-C=-2\left(x-\frac a2\right)^2+\frac94-\frac12(a-1)^2 $$

となる。

ここで

$$ A=\frac94-\frac12(a-1)^2 $$

とおくと

$$ D-C=-2\left(x-\frac a2\right)^2+A $$

である。

$C$ と $D$ の交点では $D-C=0$ だから

$$ -2\left(x-\frac a2\right)^2+A=0 $$

すなわち

$$ \left(x-\frac a2\right)^2=\frac A2 $$

となる。 よって交点の $x$ 座標は

$$ x=\frac a2\pm \sqrt{\frac A2} $$

である。

また，この区間では $D-C\ge 0$ なので，面積は

$$ S(a)=\int_{\frac a2-\sqrt{A/2}}^{\frac a2+\sqrt{A/2}}(D-C),dx $$

となる。ここで

$$ u=x-\frac a2 $$

とおくと

$$ S(a)=\int_{-\sqrt{A/2}}^{\sqrt{A/2}}(-2u^2+A),du $$

である。対称性を用いて

$$ S(a)=2\int_0^{\sqrt{A/2}}(-2u^2+A),du $$

$$ =2\left[-\frac23u^3+Au\right]_0^{\sqrt{A/2}} $$

ここで $d=\sqrt{A/2}$ とおくと $d^2=\dfrac A2$ だから

$$ S(a)=2\left(-\frac23d^3+Ad\right) =2\left(-\frac23\cdot \frac A2 d+Ad\right) =\frac43Ad $$

よって

$$ S(a)=\frac43A\sqrt{\frac A2} $$

である。

さらに

$$ A=\frac12\left(\frac92-(a-1)^2\right) $$

なので

$$ S(a)=\frac13\left(\frac92-(a-1)^2\right)^{3/2} $$

を得る。

(3) $a$ が動くとき，$S(a)$ の最大値と最小値を求める。

(1) より

$$ -\frac12\le a\le \frac52 $$

である。また

$$ S(a)=\frac13\left(\frac92-(a-1)^2\right)^{3/2} $$

は，$\dfrac92-(a-1)^2$ が大きいほど大きい。

したがって最大値は $(a-1)^2$ が最小となる $a=1$ のときにとる。このとき

$$ S(1)=\frac13\left(\frac92\right)^{3/2} =\frac{9\sqrt2}{4} $$

である。

最小値は $(a-1)^2$ が最大となる区間の端 $a=-\dfrac12,\ \dfrac52$ のときにとる。このとき

$$ (a-1)^2=\left(\frac32\right)^2=\frac94 $$

より

$$ S\left(-\frac12\right)=S\left(\frac52\right) =\frac13\left(\frac92-\frac94\right)^{3/2} =\frac13\left(\frac94\right)^{3/2} =\frac98 $$

である。

解説

この問題の要点は，$D$ が $L$ に接するという条件を「傾きが等しい」「接点が両方の曲線上にある」の2つに分けて使うことである。

また，面積計算では $D-C$ を平方完成すると，交点の中点が $x=\dfrac a2$ であることが分かり，左右対称な積分に帰着できる。ここを見抜けると計算がかなり整理される。

答え

$$ b=a-\frac14 $$

$$ -\frac12\le a\le \frac52 $$

$$ S(a)=\frac13\left(\frac92-(a-1)^2\right)^{3/2} $$

最大値は

$$ \frac{9\sqrt2}{4} \quad (a=1) $$

最小値は

$$ \frac98 \quad \left(a=-\frac12,\ \frac52\right) $$